寒假 全排列与n皇后

    递归很久之前就学过了，主要包括两个重要点：1.递归边界 2.递归式   例如斐波那契数列、汉诺塔等就可以很好处理。

    这次要记录的是全排列和八皇后问题。

    全排列就是给定几个正数，按顺序排列不重复。例如 （123）（132）（213）（231）（312）（321）这就是1、2、3三个数的全排列。如何利用递归来实现呢？记当前为第index位，如果给定的是n个数的全排列 ，则开设一个n的数组table记录被使用情况，从小到大遍历这个table查找第一个未被使用的数字，如果当前数字未被使用，则把它放在第index位，并且记为被使用过，然后递归调用下一位，递归边界是当index==n时。

void generates(int t)
{
    if(t==n+1)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            printf("%d",p[i]);
        }
        printf("\n");
        return ;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)//枚举 1~n 如果此位没有用 则把他写在此位并把标志设为true 然后继续下一位。
    {
        if(hashtable[i]==false)
        {
            p[t]=i;
            hashtable[i]=true;
            generates(t+1);
            hashtable[i]=false;
        }
    }
}

以上代码即递归代码。

    下面讨论N皇后问题

    n皇后是指在n*n的国际象棋棋盘上放n个皇后，使得n个皇后两两不在同一行、同一列、同一对角线上，求合法的方案数。

    n皇后问题可以和全排列很好的结合起来。试想全排列排第index位即在棋盘的第index列上寻找放置皇后的位置。则这样能够保证了所有的皇后一定不在同一行和同一列上，那么接下来就只需要判断是否在同一个对角线上即可。判断的方法当然是横坐标之差与纵坐标之差相同。在下面有两种方法：1.暴力法 2.回溯法

    1.暴力法

在产生一个全排列之后，再进行测试，对每两个皇后都进行监测，是否在同一个对角线上，如果是则不记录，否则方案数+1。

void generates(int t)
{
    if(t==n+1)
    {
        bool flag=true;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=i+1;j<=n;j++)
            {
                if(abs(i-j) == abs(p[i] - p[j]))  //第i,j列上的数字是p[i]和p[j] 即第p[i] p[j]个格子。
                {
                    flag=false;
                }
            }
        }
        if(flag)
            count++;
        return;

    }
    for(int i=1;i<=n;i++)//枚举 1~n 如果此位没有用 则把他写在此位并把标志设为true 然后继续下一位。
    {
        if(hashtable[i]==false)
        {
            p[t]=i;
            hashtable[i]=true;
            generates(t+1);
            hashtable[i]=false;
        }
    }
}

2.回溯法

回溯法的思想是在当前放置一个皇后之后就监测是否与之前放置的皇后冲突，如果冲突直接进行返回上层继续递归，否则继续进行放置。

void generateP(int index)
{
    if(index == n+1)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            printf("%d ",p[i]);
        printf("\n");
        countx++;
        return;
    }
    for(int x=1;x<=n;x++)
    {
        if(hashtable[x]==false)//当前要往第index列第x行插入
        {
            bool flag=true;
            //遍历之前的列上的皇后 看看与当前这个是否在对角线上
            for(int pre=1;pre<index;pre++)
            {
                if(abs(index-pre)==abs(x-p[pre]))
                {
                    flag=false;
                    break;
                }
            }
            if(flag)
            {
                p[index]=x;
                hashtable[x]=true;
                generateP(index+1);
                hashtable[x]=false;
            }
        }
    }

}

结束。