斜率优化 【ZJOI 2007】仓库建设 bzoj1096

题目大意：
有n个工厂，每个工厂到第一个工厂的距离为li，每个工厂有pi件货物，现在需要在一些工厂上建设仓库存储货物，费用为costi。
工厂i的物品可以在i~n的工厂内存放，运送到工厂j需要（lj-li）*pi的费用。
求存放所有货物的最小花费。

题目分析：
可以容易的想到动态规划。

设ｆ［ｉ］代表在ｉ位置建立工厂，存放１～ｉ的货物的最小花费。
设ｓｕｍ［ｉ］＝∑（１～ｉ）ｐｉ　（代表前ｉ个工厂的物品和）
设ｔｒａｎｓ［ｉ］＝∑（１～ｉ）ｓｕｍ［ｉ－１］＊（ｌ［ｉ］－ｌ［ｉ－１］）　（代表把所有物品运送至工厂ｉ的花费）

递推公式为：
ｆ［ｉ］＝ｍｉｎ｛ｆ［ｊ］＋ｔｒａｎｓ［ｉ］－ｔｒａｎｓ［ｊ］－ｓｕｍ［ｊ］＊（ｌ［ｉ］－ｌ［ｊ］＋ｃｏｓｔ［ｉ］）｝

（枚举前面的每一个位置ｊ，ｊ之前的答案为ｆ［ｊ］，ｆ［ｉ］的答案即为ｆ［ｊ］加上ｊ到ｉ之间所有货物运送到位置ｉ的费用，不过这里不是重点）

这样做时间复杂度是Ｏ（ｎ＾２）的，显然时间爆炸。
考虑优化。

假设ｉ位置的答案可由位置ｊ转移。
ｆ［ｉ］＝ｆ［ｊ］＋ｔｒａｎｓ［ｉ］－ｔｒａｎｓ［ｊ］－ｓｕｍ［ｊ］＊（ｌ［ｉ］－ｌ［ｊ］＋ｃｏｓｔ［ｉ］）

把括号打开，把和ｉ相关的放到一起，把和ｊ相关的放到一起：

ｆ［ｉ］－ｔｒａｎｓ［ｉ］－ｃｏｓｔ［ｉ］＝ｆ［ｊ］＋ｓｕｍ［ｊ］＊ｌ［ｊ］－ｔｒａｎｓ［ｊ］－ｓｕｍ［ｊ］＊ｌ［ｉ］

设Ｐ＝ｆ［ｉ］－ｔｒａｎｓ［ｉ］－ｃｏｓｔ［ｉ］
设ｙ＝ｆ［ｊ］＋ｓｕｍ［ｊ］＊ｌ［ｊ］－ｔｒａｎｓ［ｊ］
设ｘ＝ｓｕｍ［ｊ］
设ｋ＝ｌ［ｉ］
于是上述式子就转化为：　Ｐ＝ｙ－ｋｘ
即ｙ＝ｋｘ＋Ｐ，为一次函数形式。
此时除了要求的ｆ［ｉ］与ｉ有关的值都可以视为定值，所以斜率ｋ为定值。
可以将有关ｊ的答案看做是平面上的一些点，我们现在想要求ｆ［ｉ］的最小值，即求Ｐ的最小值。
我们可以通过严格的证（ｈｕａ）明（ｔｕ）得知，最优解一定在凸包所代表的点上：

并且观察到最优答案点左侧的斜率小于ｋ，右侧斜率大于ｋ，只要直接找到这个点直接更新答案即可。
观察发现：ｘ是递增的，所以凸包可以线性维护。
观察发现：ｋ是递增的，所以答案点在凸包上也是递增的，所以可以线性查找，直接向右找。
这样更新答案是线性时间复杂度。
总时间复杂度为Ｏ（ｎ）。

代码如下：

#include <cstdio>
#define N 1200000
using namespace std;
typedef long long LL;
struct point{
    LL x,y;
    point(LL x=0,LL y=0):x(x),y(y){}
    LL operator * (const point &c) const { return x*c.y-y*c.x; }
    point operator - (const point &c) const { return point(x-c.x,y-c.y); }
}h[N];
int n;
LL l[N],sum[N],trans[N],f[N],cost[N];
int top=0;
void convex_hull(point x)
{
    while(top>1 && (h[top]-h[top-1])*(x-h[top-1])<=0) top--;
    h[++top]=x;
    return;
}
bool judge(int now,long long k)
{
    if(now!=top && h[now+1].y-h[now].y<k*(h[now+1].x-h[now].x)) return false;
    return true;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&l[i],&sum[i],&cost[i]);
        sum[i]+=sum[i-1];
        trans[i]=trans[i-1]+sum[i-1]*(l[i]-l[i-1]);
    }
    int now=1;
    convex_hull(point(0,0));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(!judge(now,l[i])) now++;
        f[i]=h[now].y-l[i]*h[now].x+trans[i]+cost[i];
        convex_hull(point(sum[i],f[i]+sum[i]*l[i]-trans[i]));
        now=now>top?top:now;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}