杜教筛 51Nod_P1244 莫比乌斯函数求和

最新推荐文章于 2022-01-20 16:46:34 发布

Todobe

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分类专栏：杜教筛文章标签：函数

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本文详细解析了如何利用杜教筛算法解决特定数学问题。针对较大数据范围的情况，通过将问题转化为两个前缀和相减的形式，并应用杜教筛算法进行高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：
求：
这里写图片描述
2<=a<=b<=10^10

题目分析：
首先这道题很显然可以拆成两个前缀和相减的形式，即如何求：∑（1<=i<=n）μ(i)
当n很小的时候，我们只要线性筛一下莫比乌斯函数就可以了。
但是这道题数据范围很大，所以就要考虑杜教筛。
这里写图片描述

我们所求即为f（n）
这里写图片描述

这里写图片描述

中间那步不懂的小伙伴看这里：
对于第一个等号后面那个式子，相当于先枚举i，再枚举i的约数，然后求和。
于是这一步就相当于：
这里写图片描述
此处的x*d就相当于上一个式子中的 i，x相当于d|i时的i/d，即i的另一个约数。
我们枚举这个x，当x固定时，为了满足x*d<=n，d只能枚举到n/x。
即：
我们用i来替换里面的x就得到了第二个等号后的式子。
这里就是这么转化过来的。

所以我们所求就转化成了：
这里写图片描述

这样我们先筛除一部分f（n），然后根据n/i的值对i进行分块，递归处理f（n/i）。
这个也可以记忆化一下，可以自己写hash，C++选手可以用map。

时间复杂度O（n^(2/3)) （如果用map的话还要乘个log，话说这个2/3次方时怎么出来的真心不知道啊QAQ)

代码如下：

#include <cstdio>
#include <map>
#include <iostream>
#define N 20000000
using namespace std;
long long a,b,n;
int mu[N+10],pri[1300010],top;
bool mark[N+10];
map<long long,long long>V;
void shake()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!mark[i])
        {
            pri[++top]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=top && i*pri[j]<=N;j++)
        {
            mark[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j]==0) break;
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=2;i<=N;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
long long calc(long long x)
{
    if(x<=N) return mu[x];
    if(V[x]) return V[x];
    long long ans=1;
    for(long long i=2,r;i<=x;i=r+1)
    {
        r=x/(x/i);
        ans-=calc(x/i)*(r-i+1);
    }
    V[x]=ans;
    return ans;
}
int main()
{
    shake();
    cin>>a>>b;
    cout<<calc(b)-calc(a-1)<<endl;
    return 0;
}