dp总结

本周重点练习动态规划(DP),特别是最长上升子序列等经典问题。文章总结了DP中背包问题的不同解法及矩阵路径求解等技巧,并强调了对边界条件处理的重要性。

这一周主要练习dp,而我这两周的任务主要就是dp,首先最长上升子序列是一个很重要的例题,后面的很多题目中,都用到转化为最长上升子序列,最大子序列。还有就是背包的几种套路,要理解清楚。老师说dp没太有套路,感觉它是没有套路的套路,需要注意的细节很多,好几个题边界没处理好,错了好几遍。因为做的题目少,发现主要题目类型有类似矩阵求路径的,背包求方案数或最大价值的,运用最长上升子序列,最大子序列变形求答案的。矩阵用INF做下边界,还有从左向右遍历再从右向左遍历的一些小技巧,明显感觉到对题目细节的把握还是有不足,思路还需要慢慢做题来更加使之流畅。

### 序列动态规划概述 序列动态规划是一种针对序列结构问题的优化方法,通常用于解决与字符串、数组、子序列等相关的最优化问题。它将问题分解为多个阶段,每个阶段的状态表示与序列的某个位置相关的解信息,通过状态转移方程逐步构建最优解。 ### 常见算法与类型 #### 1. 最长递增子序列(LIS) 最长递增子序列问题是序列动态规划中的经典问题,目标是找出一个序列中最长的递增子序列。状态定义通常为 `dp[i]` 表示以第 `i` 个元素结尾的最长递增子序列长度。状态转移方程为: ```python dp[i] = max(dp[j] + 1 for j in range(i) if nums[j] < nums[i]) ``` 初始条件为每个 `dp[i]` 初始化为 1,因为每个元素本身可以构成一个长度为 1 的递增子序列 [^3]。 #### 2. 最长公共子序列(LCS) 最长公共子序列用于比较两个序列的相似性,找出它们的最长公共子序列。状态定义为 `dp[i][j]` 表示第一个序列前 `i` 个元素和第二个序列前 `j` 个元素的最长公共子序列长度。状态转移方程为: ```python if s1[i-1] == s2[j-1]: dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 else: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) ``` 初始条件为 `dp[0][j]` 和 `dp[i][0]` 都为 0 [^4]。 #### 3. 最长有效括号 该问题用于找出字符串中最长的有效括号子串长度。状态定义为 `dp[i]` 表示以第 `i` 个字符结尾的最长有效括号长度。状态转移方程为: ```python if s[i] == ')': if s[i-1] == '(': dp[i] = dp[i-2] + 2 if i >= 2 else 2 else: prev = i - dp[i-1] - 1 if prev >= 0 and s[prev] == '(': dp[i] = dp[i-1] + 2 if prev > 0: dp[i] += dp[prev-1] ``` 初始条件为所有 `dp[i]` 初始化为 0 [^2]。 #### 4. 编辑距离 编辑距离用于计算将一个字符串转换为另一个字符串所需的最少操作次数(插入、删除、替换)。状态定义为 `dp[i][j]` 表示将第一个字符串的前 `i` 个字符转换为第二个字符串的前 `j` 个字符所需的最小操作次数。状态转移方程为: ```python if word1[i-1] == word2[j-1]: dp[i][j] = dp[i-1][j-1] else: dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1 ``` 初始条件为 `dp[0][j] = j` 和 `dp[i][0] = i` [^3]。 ### 应用场景 #### 1. 字符串匹配与处理 最长公共子序列和编辑距离广泛应用于文本处理、拼写检查、DNA序列比对等领域。它们能够有效衡量两个字符串之间的相似性,并提供修改路径。 #### 2. 数据分析与模式识别 最长递增子序列可用于分析时间序列数据,识别趋势和模式。例如,在股票价格数据中找出最长的递增趋势。 #### 3. 编译器与括号匹配 最长有效括号问题常用于编译器设计中的语法检查,确保括号正确闭合。 ### 例题解析 #### 示例:最长公共子序列 ```python def longestCommonSubsequence(text1: str, text2: str) -> int: m, n = len(text1), len(text2) dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)] for i in range(1, m + 1): for j in range(1, n + 1): if text1[i-1] == text2[j-1]: dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 else: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) return dp[m][n] ``` 该实现利用二维动态规划表,逐步构建最长公共子序列长度。 #### 示例:最长有效括号 ```python def longestValidParentheses(s: str) -> int: n = len(s) dp = [0] * n max_len = 0 for i in range(1, n): if s[i] == ')': if s[i-1] == '(': dp[i] = dp[i-2] + 2 if i >= 2 else 2 else: j = i - dp[i-1] - 1 if j >= 0 and s[j] == '(': dp[i] = dp[i-1] + 2 if j > 0: dp[i] += dp[j-1] max_len = max(max_len, dp[i]) return max_len ``` 该实现通过一维动态规划数组,记录以每个位置结尾的最长有效括号长度。
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