闭式解

最新推荐文章于 2024-12-22 16:00:27 发布
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分类专栏： # 小白学Python # 小白学机器学习 文章标签： 闭式解 解析解 数值解
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又称为解析解，是可以用解析表达式来表达的解。

在数学上，如果一个方程或者方程组存在的某些解，是由有限次常见运算的组合给出的形式，则称该方程存在解析解。二次方程的根就是一个解析解的典型例子。在低年级数学的教学当中，解析解也被称为公式解。

当解析解不存在时，比如五次以及更高次的代数方程，则该方程只能用数值分析的方法求解近似值。大多数偏微分方程，尤其是非线性偏微分方程，都只有数值解。

关于DCF（判别相关滤波器）的闭式解详细推导
沈春旭的博客
07-10 4755
论文题目：High-Speed Tracking with Kernelized Correlation Filters 作者主页：ht://wtpww.robots.ox.ac.uk/~joao/circulant/参考博文：https://blog.youkuaiyun.com/discoverer100/article/details/538355071. 从岭回归开始推导online training...
闭式解（解析解）
iteye_16791的博客
12-17 2447
在解组件特性相关的方程式时，大多数的时候都要去解偏微分或积分式，才能求得其正确的解。依照求解方法的不同，可以分成以下两类：解析解和数值解。 解析解(analytical solution)就是一些严格的公式,给出任意的自变量就可以求出其因变量,也就是问题的解, 他人可以利用这些公式计算各自的问题. 所谓的解析解是一种包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式。 用来...
闭式解(解析解)
freeline的博客
08-04 3114
闭式解也被称为解析解，是通过严格的公式所求得的解，即包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式。通过给出解的具体函数形式，从解的表达式中就可以算出任何对应值。 解析解，又称为闭式解，是可以用解析表达式来表达的解。 在数学上，如果一个方程或者方程组存在的某些解，是由有限次常见运算的组合给出的形式，则称该方程存在解析解。二次方程的根就是一个解析解的典型例子。在低年级数学的教学当中，解析解也被称为公式解。当解析解不存在时，比如五次以及更高次的代数方程，则该方程只能用数值分析的方法求解近似值。大
秒懂什么是闭式解
qq_45934590的博客
10-15 2083
闭式解（Closed-form solution） 是指在数学或优化问题中，通过有限步骤的代数运算可以直接得到的一个显式的表达式。这种解通常不需要通过迭代过程或数值逼近求解，而是可以用一个公式明确地表示出来。
机器学习-线性回归—随机梯度下降、闭式解（解析解）实现
坚持独立思考
10-12 1700
回归（regression）是能为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。 在自然科学和社会科学领域，回归经常用来表示输入和输出之间的关系。在这里通过随机梯度下降与闭式解，得到线性回归的参数预测,并且附加代码
分布式卫星InSAR目标定位近似闭式解.pdf
08-10
根据给定文件的标题《分布式卫星InSAR目标定位近似闭式解.pdf》和描述，我们可以提取以下知识点。 知识点一：分布式卫星干涉合成孔径雷达（DS-InSAR）系统 DS-InSAR系统是一种采用分布式卫星上的合成孔径雷达（SAR...
【线性回归1】矩阵闭式解求线性回归——不用sklearn的numpy实现
qq_47796606的博客
12-22 1237
还在用scikit黑箱学AI？你学明白了吗就让机器学。 这里我们会用numpy和pandas实现从分析到闭式解法求出回归函数。
随机波动率与跳组合情形的期权问题闭式解
01-25
关于“随机波动率与跳组合情形的期权问题闭式解”，这篇论文涉及到了金融数学和金融工程领域的一系列高级概念。下面将详细介绍该标题和描述中提到的知识点。 首先，“Black-Scholes模型”是金融领域中一个非常重要...
ConjugatePriors.jl:Julia 中共轭先验的闭式表达式
07-08
ConjugatePriors.jl 注意 此包已弃用并由 Distributions.jl 替换。 介绍 共轭先验下贝叶斯更新的闭式解 使用示例 using ConjugatePriors data = rand(Bernoulli(), 100) prior = Beta(1, 1) posterior = update(prior, data) prior = Beta(1000, 100) posterior = update(prior, data)
论文研究-一种高数值精度的P3P问题半闭式解法.pdf
07-22
根据有限数目的参考点，通过二维单目观测图像估计三维目标的姿态参数（又称PnP问题,perspective-n-point）是计算机视觉研究中的一个经典难题。当参考点的数目n<6时，PnP问题为高度非线性问题并可能存在多个可行解。目前求解PnP问题的方法主要分为迭代解法和闭式解法两类。迭代解法数值精度高，但是只能收敛到多解中的一个解，无法同时得到全部可行解；闭式解法的优点是可以一次得到全部可行解，但是现有算法在数值精度和数值稳定性上要逊于迭代解法。针对以上问题，以P3P问题为研究对象，提出一种可以同时得到全部可行解并具有高数值精度的半闭式解法，并通过详细的实验验证该方法的有效性。
封闭解(Closed-form solution)、解析解(Analytical solution)、数值解(Numerical solution) 释义...
weixin_34080571的博客
11-30 1856
解析解(Analytical solution) 就是根据严格的公式推导，给出任意的自变量就可以求出其因变量，也就是问题的解，然后可以利用这些公式计算相应的问题。所谓的解析解是一种包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式。用来求得解析解的方法称为解析法(Analytical techniques)，解析法即是常见的微积分技巧，例如分离变量法等。解析解是一个封闭形式(Close...
闭式解、解析解和迭代解
chen的博客
11-30 1735
闭式解和解析解有一定的区别: 闭式解(Closed-form solution):指的是能够用有限个数的基本数学运算(加、减、乘、除、指数、对数、三角函数等)得到的解的表达式。闭式解是一个明确给定的函数表达式。 解析解(Analytic solution):比闭式解的定义更广泛一些,包括所有能够用代数、微积分、微分方程等数学工具系统地表示出来的解。解析解不一定是闭式解,可以包含无穷级数、积分等。 综上,闭式解是一个特定形式的解析解。所有闭式解都是解析解,但不是所有解析解都是闭式解。 计算和应
closed-form solution （闭合解/解析解）和数值解的理解
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qianmianyuan的专栏
05-31 2万+
参考整理自：http://hi.baidu.com/cjb366/item/7290773b2d2eb9f2a9842873 closed-form solution ：一般翻译为闭合解/解析解。这一般是相对于数值解而言的。     在解组件特性相关的方程式时，大多数的时候都要去解偏微分或积分式，才能求得其正确的解。依照求解方法的不同，可以分成以下两类：解析解和数值解。
解析解，闭式解
won_t的博客
05-18 706
闭式解closed form solution）也叫解析解(analytical solution)，就是一些严格的公式,给出任意的自变量就可以求出其因变量,也就是问题的解, 他人可以利用这些公式计算各自的问题。解析解的准确含义依赖于的运算称为常见运算或常见函数。用来求得解析解的方法称为解析法〈analytic techniques〉，解析法即是常见的微积分技巧，例如分离变量法等。解析解为一封闭形式〈closed-form〉的函数，因此对任一独立变量，我们皆可将其带入解析函数求得正确的相应变量。
闭式解，加权最小二乘法
三眼二郎
03-20 1360
这里都会默认为我们的系统没有系统误差，只有随机误差，即误差符合高斯分布，均值为0（只有这样，我们才可以通过大量的测量，来消除误差对最终结果的影响，如果存在系统误差，它会往一个方向偏。（生活中我们也可以用，比如我们多次测我们刷牙的时间和我们吃饭的时间，然后看是不是同增的，以此来判断关系，是不是很有趣，二郎就是这么有趣）然而，在我们实际应用中，尤其是像加权最小二乘这样，我们很多情况下都是先写下测量误差，然后计算方差，而没有去说，多次测量，然后计算方差。在定位的论文中，用Q代表协方差，如下式。
【机器学习】相关概念：闭式解，解析解，数值解
langjueyun2010的博客
05-17 4817
在看《机器学习》时突然看到了闭式解这个概念，然后百度了一下闭式解。看到了三个相关的名词：解析解，闭式解，数值解接下来谈一下自己看完后的理解解析解：因变量由自变量所表示的函数解析式，它是一个解析式，换句话说就是用参数表示的解。数值解：把各自的参数值自变量的值都带入到解析式中得到数值闭式解：解析解为一封闭形式〈closed-form〉的函数，因此对任一独立变量，我们皆可将其带入解析函数求得正确的相依变...
闭式表达式
m0_68339197的博客
10-24 813
有理函数：\( R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \)，其中\( P(x) \)和\( Q(x) \)是多项式。- 多项式：\( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 \)- 未解决的积分：\( \int f(x) \, dx \)，其中\( f(x) \)是一个没有已知原函数的函数。- 三角函数：\( \sin(x) \), \( \cos(x) \)简单来说，就是算好了的，确定了的，具体的表达式，不用进一步算的。
斐波那契数列的闭式解
最新发布
03-14
<think>嗯，用户问的是斐波那契数列的闭式解公式推导。首先，我得回忆一下斐波那契数列的定义，对吧？斐波那契数列通常是递归定义的，比如f(n) = f(n-1) + f(n-2)，初始条件是f(0)=0，f(1)=1。用户已经知道可以用递归、矩阵幂或者记忆化递归来求解，现在他们想找闭式解，也就是不用递归或循环，直接用公式计算出第n项的方法。 那闭式解应该和黄金分割比例有关吧？我记得有个Binet公式，对吧？不过具体的推导过程可能需要用生成函数或者特征方程的方法。用户可能需要详细的步骤，所以我要一步步来。 首先，应该从递推关系出发，建立一个特征方程。斐波那契的递推是线性的齐次递推，所以可以用特征根法来解。假设解的形式是r^n，代入递推式的话，应该得到r^n = r^(n-1) + r^(n-2)，两边除以r^(n-2)，得到r² = r + 1。这就是特征方程r² - r -1 =0。解这个方程的话，根应该是（1±√5）/2，也就是黄金分割比例φ和它的共轭ψ。 然后，通解应该是这两个根的线性组合，即f(n) = Aφ^n + Bψ^n。接下来需要利用初始条件来解出A和B。当n=0时，f(0)=0=A + B；当n=1时，f(1)=1=Aφ + Bψ。这样联立方程，可以解出A和B的值。计算这两个方程的话，可能会涉及到代数运算，比如用第二个方程减去第一个方程乘以φ，然后解出B，再代入求A。 不过这里可能容易出错，特别是符号和分母的处理。比如，解这两个方程时，得到A=1/(φ - ψ)，而因为φ - ψ=√5，所以A=1/√5，B=-1/√5。这样最终的闭式解就是f(n) = (φ^n - ψ^n)/√5。这就是Binet公式对吧？ 不过用户可能需要详细的推导步骤，所以得一步步来，不能跳过关键点。同时，可能需要提到生成函数的方法，作为另一种推导方式。生成函数G(x) = Σf(n)x^n，然后利用递推关系将G(x)表达为x/(1 - x - x²)，再分解部分分式，转换成两个几何级数的和，同样得到闭式解。 还要注意验证这个公式的正确性，比如代入n=0,1,2，看是否符合斐波那契数列的值。另外，虽然闭式解看起来是精确的，但由于ψ的绝对值小于1，当n很大时，ψ^n趋近于0，所以可以近似为φ^n/√5，并取整得到整数结果。 可能用户在学习递推关系求解，或者准备竞赛，需要闭式解来提高计算效率。他们可能已经知道其他方法，但想了解更数学化的推导。所以，在解释过程中要确保数学步骤清晰，正确应用特征方程和生成函数的方法，避免错误。 另外，引用中的内容可能和问题相关吗？比如引用[1]提到闭式解推导求解，引用[5]有递推式的代码，但用户的问题主要集中在闭式解的推导，所以可能需要结合这些引用中的信息，但当前引用里关于闭式解的具体推导不多，所以主要依靠数学推导过程。 总结一下，回答应该分步骤，先建立特征方程，求出特征根，写出通解，利用初始条件求解系数，最后得到闭式解。同时，可以补充生成函数的方法作为另一种推导途径，并验证公式的正确性。</think>斐波那契数列的闭式解公式（Binet公式）可通过特征方程法或生成函数法推导。以下是详细推导过程： --- ### **1. 特征方程法** 斐波那契数列定义为： $$ f(n) = f(n-1) + f(n-2), \quad f(0)=0, \quad f(1)=1 $$ **步骤1：假设解为指数形式** 假设通解形式为 $f(n) = r^n$，代入递推关系得： $$ r^n = r^{n-1} + r^{n-2} \implies r^2 = r + 1 $$ **步骤2：求解特征方程** 方程 $r^2 - r - 1 = 0$ 的解为： $$ r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} $$ 即黄金分割比 $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 和其共轭 $\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$。 **步骤3：构造通解** 通解为两者的线性组合： $$ f(n) = A\phi^n + B\psi^n $$ **步骤4：代入初始条件** - 当 $n=0$ 时：$0 = A + B$ - 当 $n=1$ 时：$1 = A\phi + B\psi$ 联立解得： $$ A = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad B = -\frac{1}{\sqrt{5}} $$ **最终闭式解**： $$ f(n) = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}} $$ --- ### **2. 生成函数法** **步骤1：定义生成函数** 设生成函数 $G(x) = \sum_{n=0}^\infty f(n)x^n$，利用递推关系得： $$ G(x) = x + xG(x) + x^2G(x) $$ **步骤2：求解生成函数** 整理得： $$ G(x) = \frac{x}{1 - x - x^2} $$ **步骤3：部分分式分解** 将分母分解为 $(1-\phi x)(1-\psi x)$，并展开为几何级数： $$ G(x) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1}{1-\phi x} - \frac{1}{1-\psi x} \right) $$ **步骤4：提取系数** 展开后得到： $$ f(n) = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}} $$ --- ### **3. 验证与特性** - **数值验证**：代入 $n=5$，闭式解计算结果为 $5$，与递推结果一致。 - **近似性质**：由于 $|\psi| < 1$，当 $n$ 较大时，$f(n) \approx \frac{\phi^n}{\sqrt{5}}$，且结果需取整[^1]。 --- ### **相关问题** 1. 斐波那契数列闭式解的时间复杂度是多少？ 2. 如何利用矩阵快速幂计算斐波那契数列？ 3. 闭式解中的黄金分割比 $\phi$ 有什么数学意义？ --- 以上推导结合了特征方程和生成函数两种方法，确保了数学严谨性。闭式解避免了递归的指数时间复杂度，将计算优化到 $O(1)$（忽略幂运算的复杂度）[^3][^5]。
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