线段树

线段树的定义

 

经常遇到一些与区间有关的题目，这类题目用通常的方法很麻烦，但是有一种特殊的数据结构——线段树（Segment Tree）可以很好地解决有关区间上的问题。

线段树是一棵二叉树，记为T(a,b)，参数a，b表示区间[a，b]，其中，b-a为区间的长度，记为L。

其根为：[a,b]

其左儿子为：[a,(a+b)/2]

其右儿子为：[(a+b)/2,b]

若L=1，则为叶子节点。

//结点类型
typedef struct node
...{
    int l, r;
    int count;
    //lbd:
    //左端点被覆盖为true，未被覆盖为false
    //rbd相同
    bool lbd, rbd;
    node *left, *right;
}*nodeptr;

//线段树
//支持的操作有：
//insert(a, b) 插入一条线段[a,b]
//remove(a, b) 当[a, b]这条线段存在时，删除
//count(a, b)  统计[a, b]被覆盖的次数
//               count(a, b)总是返回[a, b]中最少的覆盖次数，如
//                   如果[a, b]仅被覆盖过一次，当[p, q]∈[a, b]
//               且[p, q]被覆盖，[a, p],[q, b]没有被覆盖时，
//               count(a, b)只返回1
//measure(a, b) 返回[a, b]间的测度（测度m指的是区间中线段覆盖过的长度）
//lines(a, b)    返回[a, b]间连续线段的数量
//几个例子：
//insert(3, 6), insert(4, 9), insert(11, 12)之后
//count(3, 6) = 1, count(4, 6) = 2, count(1, 4) = 0
//measure(1, 4) = 1, measure(3, 9) = 6, measure(5, 10) = 4
//lines(1, 9) = 1, line(5, 12) = 2
class Segment_Tree
...{
private:
    nodeptr root;
    //递归建树
    void create(nodeptr& current, int a, int b)
    ...{
        //初始化
        current = new node;
        current -> l = a; current -> r = b; current -> count = current -> lbd = current -> rbd = 0;
        if (b - a == 1) //到达叶子，结束
            current -> left = current -> right = NULL;
        else //递归调用
        ...{
            nodeptr lc, rc;
            create(lc, a, (a+b) / 2);
            create(rc, (a+b) / 2, b);
            current -> left = lc;
            current -> right = rc;
        }
    }
    //插入一条线段
    void insert(nodeptr p, int a, int b)
    ...{
        //用于计算lines
        p -> lbd |= (p -> l == a);
        p -> rbd |= (p -> r == b);
        //刚好是这一段，直接更新
        if (p -> l == a && p -> r == b)
            p -> count++;
        else
        ...{
            int m = (p -> l + p -> r) / 2;    //a, b的中点
            if (b <= m)
                insert(p -> left, a, b);    //需要在[a, m]插入[a, b]
            else if (a >= m)
                insert(p -> right, a, b);    //在[m, b]中插入[a, b]
            else    //二分插入
            ...{
                insert(p -> left, a, m);
                insert(p -> right, m, b);
            }
        }
    }
    //删除一条线段
    void remove(nodeptr p, int a, int b)
    ...{
        //用于计算lines
        p -> lbd &= !(p -> l == a);
        p -> rbd &= !(p -> r == b);
        //刚好是这一段，直接更新
        if (p -> l == a && p -> r == b)
            p -> count--;
        else
        ...{
            int m = (p -> l + p -> r) / 2;    //a, b的中点
            if (b <= m)
                remove(p -> left, a, b);    //需要在[a, m]删除[a, b]
            else if (a >= m)
                remove(p -> right, a, b);    //在[m, b]中删除[a, b]
            else    //二分删除
            ...{
                remove(p -> left, a, m);
                remove(p -> right, m, b);
            }
        }
    }
    //统计[a,b]被覆盖的次数
    //有待研究
    int count(nodeptr p, int a, int b)
    ...{
        if (p -> r - p -> l == 1)
            return p -> count;
        else
        ...{
            int m = (p -> l + p -> r) / 2;
            if (b <= m)
                return count(p -> left, a, b) + p -> count;
            else if (a >= m)
                return count(p -> right, a, b) + p -> count;
            else
                return min(count(p -> left, a, m), count(p -> right, m, b)) + p -> count;
        }
    }
    //计算[a,b]的测度
    //结点的测度m指的是结点所表示区间中线段覆盖过的长度
    //m = b - a (count > 0)
    //m = 0 (count = 0且为叶结点）
    //m = left.m + right.m (count = 0且为内部结点）
    int measure(nodeptr p, int a, int b)
    ...{
        if (count(a, b) > 0)
            return (b - a);
        if (b - a == 1)
            return 0;
        int m = (p -> l + p -> r) / 2;
        return measure(p -> left, a, m) + measure(p -> right, m, b);
    }
    //计算[a,b]的连续线段数
    //连续线段数line指的是区间中互不相交的线段条数
    //计算方法：
    //line = 1 (count > 0)
    //line = 0 (count = 0且为叶结点）
    //line = left.line + right.line - 1 (count = 0且为内部结点，且left.rbd和right.lbd同时为1）
    //line = left.line + right.line （count = 0且为内部结点，且left.rbd和right.lbd不同时为1）
    int lines(nodeptr p, int a, int b)
    ...{
        if (count(a, b) > 0)
            return 1;
        if (b - a == 1)
            return 0;
        int m = (p -> l + p -> r) / 2;
        return lines(p -> left, a, m) + lines(p -> right, m, b) - (p -> left -> rbd & p -> right -> lbd);
    }
public:
    //初始化时，指定线段树的长度
    Segment_Tree(int size)
    ...{
        create(root, 1, size);
    }
    //接口
    void insert (int a, int b)
    ...{
        insert(root, a, b);
    }
    void remove (int a, int b)
    ...{
        if (count(a, b) > 0)
            remove(root, a, b);
    }
    int count(int a, int b)
    ...{
        return count(root, a, b);
    }
    int measure(int a, int b)
    ...{
        return measure(root, a, b);
    }
    int lines(int a, int b)
    ...{
        return lines(root, a, b);
    }
};

 

当然，线段树还能实现别的操作，具体因题而异，大家可以自行扩充。