hdu 5304 基尔霍夫矩阵

最新推荐文章于 2020-11-20 22:56:20 发布

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分类专栏： ACM算法竞赛

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Techmonster/article/details/51864710

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博客介绍了基尔霍夫矩阵在计算无向图生成树数量中的应用。根据Matrix-Tree定理，无向图的生成树数目等于其基尔霍夫矩阵的任一n-1阶主子式的绝对值。文章探讨了如何利用这一原理解决删边得到联通图的方案数问题，包括选n-1条边形成生成树和n条边形成带环树的情况。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

关于基尔霍夫矩阵：

*算法引入：
*给定一个无向图G，求它生成树的个数t(G);
*
*算法思想：
*(1)G的度数矩阵D[G]是一个n*n的矩阵,并且满足:当i≠j时,dij=0;当i=j时,dij等于vi的度数;
*(2)G的邻接矩阵A[G]是一个n*n的矩阵,并且满足:如果vi,vj之间有边直接相连,则aij=1,否则为0;
*定义图G的Kirchhoff矩阵C[G]为C[G]=D[G]-A[G];
*Matrix-Tree定理:G的所有不同的生成树的个数等于其Kirchhoff矩阵C[G]任何一个n-1阶主子式的行列式的绝对值；
*所谓n-1阶主子式,就是对于r(1≤r≤n),将C[G]的第r行,第r列同时去掉后得到的新矩阵,用Cr[G]表示;

思路：此题要求删掉m－n 条边得到联通图的方案数，相当于m条边选n条，得到联通图的方案数。

如果是选n－1条，那就是得到一个生成树。n条相当于在树上再加一条边，也就是有一个环的树。

那么就要枚举环，把环缩点，然后用基尔霍夫矩阵计算。

/*************************************************************************
 > File Name: hdu5304.cpp
 > Author: TechMonster
 > Mail: 928221136@qq.com
 > Created Time: 五  7/ 8 15:07:09 2016
 ************************************************************************/

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<ctype.h>
#include<string>
#include<math.h>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
template <class T1, class T2>inline void gmax(T1 &a, T2 b) { if (b>a)a = b; }
template <class T1, class T2>inline void gmin(T1 &a, T2 b) { if (b<a)a = b; }
#define ls (o<<1)
#define rs (o<<1|1)
#define MS(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define MC(x, y) memcpy(x, y, sizeof(x))
typedef long long LL;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 50010;
const LL M = 998244353ll;
template <class T1, class T2>inline void gadd(T1 &a, T2 b) {a += b; if(a > M) a%=M;}

int n,m;
int mp[16][16],top;
LL sum[70000],dp[16][70000];
LL Pow(LL x, LL n)
{
	LL ret = 1;
	while(n)
	{
		if(n&1) ret=ret*x%M;
		n>>=1;
		x = x*x%M;
	}
	return ret;
}
LL Gauss(LL C[][20],int n)//计算n阶行列式的绝对值 % mod
{
	LL ans=1ll;
	int flag=1;//行列交换的次数
	int i,j,k;
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		if(C[i][i]==0)
		{
			for(j=i+1;j<n;j++)
				if(C[j][i])break;
			if(j==n)return 0;//某列的值全是0的ans=0；
			flag=!flag;
			for(int k=i;k<n;k++)
				swap(C[i][k],C[j][k]);//i和j行交换
		}
		ans=ans*C[i][i]%M;//对角线相乘
		LL x = Pow(C[i][i],M-2);//x为逆元
  
		for(k=i+1;k<n;k++)
			C[i][k]=C[i][k]*x%M;
  
  
		for(int j=i+1;j<n;j++)
			for(int k=i+1;k<n;k++)
			{
				C[j][k]=(C[j][k]-C[j][i]*C[i][k])%M;
				if(j==k)
					C[j][k]=(C[j][k]+M)%M;
			}
		for(k=i+1;k<n;k++)
			C[i][k]=C[i][k]*C[i][i]%M;
  
	}
	
	ans=(ans%M+M)%M;
	if(flag) return ans;
	else  return M-ans;
}
int getst(int x) {for(int i = 0; i < n; ++i) if(x & 1<<i) return i;return -1;}
int getnum(int x) {int ret = 0;while(x) x-=x&-x,ret++; return ret;}
void getCircle()
{
	MS(dp,0);MS(sum,0);
	top = 1<<n;
	for(int sta = 1; sta < top; ++sta)
	{
		int s = getst(sta), num = getnum(sta);
		if(num == 1) dp[s][sta] = 1;
		for(int e = s; e < n; ++e)
		{
			if(!dp[e][sta]) continue;
			for(int e2 = s+1; e2 < n; e2++)
			{
				if(sta & 1<<e2 || !mp[e][e2]) continue;
				gadd(dp[e2][sta | 1<<e2],dp[e][sta]);
			}
			if(num >= 3 && mp[e][s])
				gadd(sum[sta],dp[e][sta]);
		}
	}
}
int id[16];
LL C[20][20];
void solve()
{
	int u,v;
	MS(mp,0);
	for(int i = 0; i < m; ++i)
	{
		scanf("%d%d",&u,&v);
		u--,v--;
		mp[u][v] = mp[v][u] = 1;
	}
	getCircle();

	int cnt;
	LL ans = 0;
	for(int sta = 0; sta < top; ++sta)
	{
		MS(C,0);
		if(!sum[sta]) continue;
		cnt = 1;
		for(int i = 0; i < n; ++i)
			if(sta & 1<<i) id[i] = 0;
			else id[i] = cnt++;
		for(int i = 0; i < n; ++i)
			for(int j = 0; j < n; ++j)
			{
				if(id[i] != id[j] && mp[i][j])
				{
					C[id[i]][id[i]]++;
					C[id[i]][id[j]]--;
				}
			}
		gadd(ans,Gauss(C,cnt-1)*sum[sta]%M);
	}
	printf("%lld\n",ans*Pow(2,M-2)%M);
}
int main()
{
	while(~scanf("%d%d",&n,&m))
		solve();
	return 0;
}