最小二乘法和梯度下降法总结

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#最小二乘法 #机器学习 #算法

回归分析用于研究自变量与因变量之间的函数关系，而最小二乘法是寻找误差平方和最小的优化方法。该文介绍了最小二乘法的基本思想，即通过求解偏导数为0的方程来确定回归函数的系数。

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什么是回归
我的理解：当自变量和因变量存在某种函数关系可以用来近似描述时，我们把这种行为叫做回归。而这个函数叫做回归函数。

最小二乘法是一种优化问题的想法，梯度下降法是实现这种优化想法具体的一种求解方法。
计算误差平方和最小的方法最常见的就是最小二乘法和梯度下降法：
在这里插入图片描述

最小二乘法介绍

最小二乘法是一个最优化问题(optimization problem)。
最小二乘法 就是 就是求偏导，然后使偏导为0，
在这里插入图片描述
求解偏导数=0；
然后求解方程组，可以获得系数。

总结最小二乘法，梯度下降法，牛顿法和高斯牛顿法
cuc李滢的博客
05-25 2863
一.作业推导 二.最小二乘法 最小二乘法指通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。 线性最小二乘法满足以下基本公式： 考虑超定方程组（超定指方程个数大于未知量个数）： 其中m代表有m个等式，n代表有 n 个未知数β，m>n ；将其进行向量化后为： Xβ=y 该方程组一般而言没有解，为了选取最合适的β让该等式
使用梯度下降求解最小二乘
weixin_36600799的博客
04-25 1618
使用梯度下降求解最小二乘 简介 在前一篇的总结中，从矩阵的视角回顾了最小二乘，最终还得到了如下求解最小二乘的解的方程： (1)x=(WTW)−1WTyx = (W^{T}W)^{-1}W^{T}y \tag{1}x=(WTW)−1WTy(1) 这个方程本身没有什么问题，只不过也有其局限性，当数据量很大的时候，WWW也会很大，求解WTWW^{T}WWTW本质上是一个不太现实的事情。如果只有1000...
最小二乘法与梯度下降法的区别
热门推荐
sinat_27652257的博客
06-11 1万+
最小二乘法与梯度下降法的区别？ - 优快云博客  https://blog.csdn.net/qq_27514297/article/details/53508149狭义的最小二乘法：指的是在线性回归下采用最小二乘准则（或者说叫做最小平方），进行线性拟合参数求解的、矩阵形式的公式方法。所以，这里的（最小二乘法）应叫做（最小二乘算法）或者（最小二乘方法，百度百科【最小二乘法】词条中对应的英文为（T...
【机器学习】总结：线性回归求解中梯度下降法与最小二乘法的比较
Allen . Liu
11-27 2114
在线性回归算法求解中，常用的是最小二乘法与梯度下降法，其中梯度下降法是最小二乘法求解方法的优化，但这并不说明梯度下降法好于最小二乘法，实际应用过程中，二者各有特点，需结合实际案例具体分析。 最后有两份最小二乘法和逻辑斯特推导方法 1.最小二乘法求解线性回归 线性回归的基本模型设定为： 在此基础上构建代价函数： 通过代价函数 求偏导并令其等于零，所得到 的即为模型参数的值： ...
数据分析---最小二乘法和梯度下降法
数据时代--收集，存储，处理，分析，挖掘，检索，展现
02-15 9313
最近在整理数据优化方面的知识，看的多了最小二乘法和梯度下降法之类的词语经常出现，很多算法都有用到类似方法，或者很多算法看起来和这些似曾相识，比如BP神经网络，支持向量机，等等分类回归方法。可见这最小二乘法和梯度下降法是很基础的方法，很值得好好复习下，不然很多东西剪不断，理还乱。         首先科普下，这两个基本的慨念，怕自己忘记了。        最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优
最小二乘法和梯度下降法的区别
寓教于乐。教己助人
03-15 1210
最小二乘法和梯度下降区别
最小二乘法和梯度下降法求解多元线性回归的区别
jjikyour的博客
10-10 382
缺点：需要选择合适的学习率，可能会陷入局部最小值。解析解法：通过矩阵运算直接求解，计算回归系数。迭代法：逐步调整回归系数，最小化损失函数。优点：适合大数据集和高维空间，计算效率高。缺点：大数据集时计算量大，内存消耗高。优点：快速准确，特别适合小数据集。最小二乘法：小规模数据，直接求解。梯度下降法：大规模数据，迭代求解。
线性回归（最小二乘法和梯度下降法实现）
02-15
这是机器学习中最常见的模型--线性回归的python实现，其中包含了最小二乘法和梯度下降法两种拟合算法
最优化方法——最小二乘法与梯度下降法
转载请标明出处，完整项目/代码详见github：https://github.com/yiru1225
12-26 1万+
本篇博客主要介绍最小二乘法、梯度下降法的原理与流程，分别使用Matlab、Pycharm分别实现了最小二乘法、不同迭代停止条件的梯度下降法等方法对给定优化模型进行求解并进行解之间的误差分析对比，并进行了一定理论与应用（内附数据集和python及matlab代码）。
精选资源
基于Python实现线性回归的最小二乘法和梯度下降法.zip
05-11
在压缩包中的"基于Python实现线性回归的最小二乘法和梯度下降法"文件中，你将找到如何在Python环境中实现这两种方法的示例代码。这些代码可能包括数据预处理、模型训练、模型评估等步骤，帮助你深入理解这两种算法的...
精选资源
python实现线性回归的最小二乘法和梯度下降法.zip
08-25
总结来说，这个资料包提供了关于Python实现线性回归模型的宝贵资源，涵盖了最小二乘法和梯度下降法这两种核心算法。通过阅读和实践这些代码，你可以更好地掌握线性回归模型的构建，为数据分析和机器学习项目打下坚实...
【机器学习】最小二乘法&梯度下降
数据森麟
04-20 3195
作者：田志晨 来源：小田学Python最小二乘法所谓的最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。最小二乘法通常用于函数拟合以及求...
人工智能与机器学习：从理论到实践的技术全景
2502_90978783的博客
12-26 129
在前沿技术领域，深度学习作为机器学习的进阶分支，凭借多层神经网络结构，能够处理更复杂的非线性问题，推动了计算机视觉、自然语言处理的爆发式发展；此外，联邦学习、边缘计算与机器学习的结合，解决了数据隐私保护与模型实时性的难题，为智慧医疗、智能家居等场景提供了新的解决方案。但不可否认的是，随着技术的不断突破与产业的深度融合，人工智能与机器学习必将在更多领域创造价值。同时，需要持续监控模型的运行状态，因为随着时间推移，数据分布可能发生变化（即“数据漂移”），导致模型性能下降，此时需要对模型进行重新训练与更新。
机器学习-DeepSeekR1
ArtoriaLili的博客
12-20 913
DeepSeek-R1：通过强化学习激励大语 言模型的推理能力 摘要我们推出了首代推理模型DeepSeek-R1-Zero和DeepSeek-R1。作为基础训练阶段，DeepSeek-R1-Zero通过大规模强化学习（RL）训练，无需监督微调（SFT），展现出卓越的推理能力。通过强化学习，该模型自然形成了诸多强大且引人入胜的推理行为。然而，其存在可读性差、语言混杂等挑战。为解决这些问题并进一步提升推理性能，我们推出了采用多阶段训练和冷启动数据的DeepSeek-R1。DeepSeek-R1在推理任务上的表
面向自然科学的人工智能建模方法【涵盖机器学习与深度学习的核心方法（如随机森林、XGBoost、CNN、LSTM、Transformer等）】
2403_89634305的博客
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面向自然科学的人工智能建模方法【涵盖机器学习与深度学习的核心方法（如随机森林、XGBoost、CNN、LSTM、Transformer等）】
隐语SML0.1.0版本发布！SPU开源机器学习Python算法库
m0_69580723的博客
12-26 316
摘要：隐语SML 0.1.0版本正式发布，这是一个专注于隐私保护的Python机器学习库，旨在构建安全版scikit-learn。该版本支持数十种核心算法，涵盖监督学习、无监督学习、数据预处理和模型评估等主要领域，所有算法均针对MPC场景优化。SML现可从PyPI安装，支持金融、医疗等对数据隐私要求高的场景。项目团队邀请开发者共同建设隐私计算时代的机器学习生态，未来将持续完善算法覆盖、API设计和文档体系。
【分析式AI】-OOF预测学习指南
Java转AI工程师 | 用代码写干货，让AI不“崩”！
12-22 732
OOF预测（Out-of-Fold Prediction，直译“折叠外预测”）是机器学习集成学习（Ensemble Learning）和交叉验证（Cross Validation）场景下的核心技术，特指在K折交叉验证（K-Fold Cross Validation）过程中生成的预测结果。
【氮化镓】p-GaN HEMTs中栅极可靠性的负激活能现象
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12-22 78
基于电气特性表征、光谱分辨的电致发光测量以及退化测试相结合的方法，研究了p-GaN肖特基栅高电子迁移率晶体管（HEMTs）中栅极可靠性的负激活能现象。实验结果表明，栅极漏电流源于三种不同机制，且高温下器件寿命延长是由于空穴注入和复合增加，减少了发生雪崩倍增的电子数量，从而推迟了击穿。该研究结果对提高GaN基功率器件的可靠性和优化其在高温环境中的应用具有重要意义。
简单的GAN生成学习案例
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hello！
12-26 41
【代码】简单的GAN生成学习案例。
最小二乘法和梯度下降法
08-12
<think>首先，用户的问题是关于最小二乘法和梯度下降法的原理、优缺点以及它们之间的区别。我需要基于系统级指令和用户可见层的指导来构建回答。 系统级指令： - 所有行内数学表达式必须使用$...$格式。 - 独立公式必须使用$$...$$格式并单独成段。 - LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识，例如[^1]。 用户可见层： - 回答结构清晰，帮助用户逐步解决问题。 - 尽量保证回答真实可靠。 - 参考站内引用（提供的引用内容）。 参考站内引用： - [^1]: 最小二乘&梯度下降。不同：实现方法和结果不同：最小二乘法是直接求导找出全局最小，是非迭代法。而梯度下降法是一种迭代法，先给定一个，然后向\Delta下降最快的方向调整，在若干次迭代之后找到局部最小。梯度下降法的缺点是到最小点的时候收敛速度变慢，并且对初始点的选择极为敏感，其改进大多是在这两方面下功夫。 - [^2]: 机器学习：最小二乘法、梯度下降法。最小化损失函数的优化方法...（详细内容见原文）。 - [^3]: 线性回归最小二乘法和梯度下降法。按照最小二乘法，我们直接求出导数为0的点，但是有时候很难解出方程，就考虑使用迭代的方法...。 - [^4]: 最小二乘法与梯度下降（原理）。正规方程是一种用于求解线性回归模型参数的方法...（详细内容见原文）。 用户的问题分解： 1. 最小二乘法：原理、优缺点。 2. 梯度下降法：原理、优缺点。 3. 对比两者。 我需要构建一个结构清晰的回答： - 先介绍最小二乘法。 - 然后介绍梯度下降法。 - 最后对比它们。 - 在适当的地方添加数学表达式。 - 结束时生成相关问题。 确保使用中文回答。 步骤： 1. **最小二乘法原理**： - 最小二乘法用于求解线性回归问题，通过最小化误差平方和来估计参数。 - 数学原理：对于线性模型 $y = X\beta + \epsilon$，目标是找到 $\beta$ 最小化 $S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - X_i \beta)^2$。 - 通过求导令导数为零：$\frac{\partial S}{\partial \beta} = 0$，得到正规方程：$X^T X \beta = X^T y$。 - 如果 $X^T X$ 可逆，则 $\beta = (X^T X)^{-1} X^T y$。 2. **最小二乘法优缺点**： - 优点：直接求解全局最优解；不需要迭代；数学原理清晰。 - 缺点：计算复杂度高（$O(n^3)$ 对于矩阵求逆）；对多重共线性敏感（$X^T X$ 不可逆时无法求解）；只适用于线性模型。 3. **梯度下降法原理**： - 梯度下降法是一种迭代优化算法，用于最小化损失函数。 - 原理：从初始点开始，沿着损失函数的负梯度方向更新参数，步长由学习率控制。 - 更新公式：$\theta_{j+1} = \theta_j - \alpha \nabla J(\theta_j)$，其中 $\alpha$ 是学习率，$\nabla J$ 是梯度。 - 梯度：对于线性回归，$J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum (y_i - h_\theta(x_i))^2$，梯度为 $\nabla J = -\frac{1}{m} X^T (y - X\theta)$。 4. **梯度下降法优缺点**： - 优点：适用于大规模数据集和高维特征；灵活，可用于各种模型（如非线性回归、神经网络）；计算效率高（尤其随机梯度下降）。 - 缺点：可能收敛到局部最优解（对于非凸函数）；需要选择学习率和迭代次数；收敛速度慢；对初始点敏感。 5. **对比**： - 最小二乘法是直接解析法，梯度下降法是迭代法。 - 最小二乘法给出精确解，梯度下降法给出近似解。 - 最小二乘法在数据量小、特征少时高效；梯度下降法在数据量大时更优。 - 最小二乘法对数据条件要求严格，梯度下降法更鲁棒但需要调参。 添加引用： - 在解释时，自然地添加引用标识，如[^1]、[^2]等，基于提供的引用内容。 数学表达式： - 行内：使用$...$，例如$X^T X \beta = X^T y$。 - 独立公式：使用$$...$$并单独成段，例如正规方程。 生成相关问题： - 在最后，像示例一样，添加“相关问题”部分。 回答结构： 1. 引言：简要介绍主题。 2. 最小二乘法部分：原理、优缺点。 3. 梯度下降法部分：原理、优缺点。 4. 对比部分。 5. 相关问题。 确保LaTeX语法正确。</think>### 最小二乘法与梯度下降法的原理、优缺点及对比 最小二乘法和梯度下降法都是用于优化问题的常用方法，尤其在机器学习和统计建模中广泛应用于参数估计（如线性回归）。下面我将逐步解释它们的原理、优缺点，并进行对比分析。回答基于可靠的理论基础，并参考了相关文献[^1][^2][^3][^4]。 --- #### 1. 最小二乘法 **原理**： 最小二乘法是一种直接求解优化问题的解析方法，主要用于最小化误差平方和（即残差平方和）。在线性回归中，假设模型为 $y = X\beta + \epsilon$，其中 $y$ 是因变量向量，$X$ 是设计矩阵，$\beta$ 是参数向量，$\epsilon$ 是误差项。目标是通过最小化损失函数 $S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - X_i \beta)^2$ 来估计 $\beta$。 - 通过求导令梯度为零： $$\frac{\partial S}{\partial \beta} = 0$$ 得到正规方程（normal equation）： $$X^T X \beta = X^T y$$ 如果 $X^T X$ 可逆，则解为： $$\beta = (X^T X)^{-1} X^T y$$ 这直接给出了全局最优解，无需迭代[^1][^4]。 **优缺点**： - **优点**： - 直接求解全局最优解：对于凸函数（如线性回归的平方损失），最小二乘法保证找到全局最小值，无局部最优风险[^4]。 - 无需迭代：计算一步到位，省去了学习率设置和迭代过程，计算效率高（尤其在小数据集）[^1][^4]。 - 数学原理清晰：基于微积分和矩阵运算，易于理解和推导[^4]。 - **缺点**： - 计算复杂度高：涉及矩阵求逆，时间复杂度为 $O(n^3)$（$n$ 为特征数），对于高维数据（如 $n > 10^4$）内存消耗大，甚至不可行[^4]。 - 对数据条件敏感：要求 $X^T X$ 满秩（无多重共线性），否则矩阵不可逆，需正则化（如岭回归）处理[^4]。 - 适用范围有限：仅适用于线性模型和平方损失函数，无法直接用于非线性问题[^1][^4]。 --- #### 2. 梯度下降法 **原理**： 梯度下降法是一种迭代优化算法，通过沿损失函数梯度的反方向逐步更新参数来最小化损失函数。核心思想是：从初始点 $\theta_0$ 开始，重复应用更新规则： $$\theta_{j+1} = \theta_j - \alpha \nabla J(\theta_j)$$ 其中 $\alpha$ 是学习率（步长），$\nabla J$ 是损失函数 $J(\theta)$ 的梯度。对于线性回归，损失函数常定义为 $J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m} (y_i - h_\theta(x_i))^2$（$m$ 为样本数），梯度计算为 $\nabla J = -\frac{1}{m} X^T (y - X\theta)$。算法迭代至收敛（如梯度接近零或达到最大迭代次数）[^2][^3]。 梯度下降有多种变体： - **批量梯度下降（BGD）**：每次迭代使用全部数据计算梯度，稳定性高但慢[^2]。 - **随机梯度下降（SGD）**：每次迭代随机选一个样本更新，速度快但波动大[^2]。 - **小批量梯度下降（Mini-batch GD）**：每次使用一小批样本（batch_size），平衡速度和精度[^2]。 **优缺点**： - **优点**： - 适用性广：可处理大规模数据和高维特征，时间复杂度低（如 SGD 为 $O(n)$），内存效率高[^2][^3]。 - 灵活扩展：适用于非线性模型（如神经网络）和非凸损失函数[^2][^4]。 - 易于实现：只需计算梯度和更新参数，代码实现简单[^2]。 - **缺点**： - 可能收敛到局部最优：对于非凸函数，初始点选择不当会导致局部最优解[^1][^2]。 - 需调参：学习率 $\alpha$ 设置敏感，过大导致震荡或不收敛，过小则收敛慢；还需选择迭代次数和 batch_size[^2][^3]。 - 收敛速度慢：接近最小值时梯度变小，收敛速度下降，且对初始值敏感[^1][^4]。 --- #### 3. 最小二乘法与梯度下降法的对比 | 方面 | 最小二乘法 | 梯度下降法 | 对比说明 | |--------------|--------------------------------|--------------------------------|----------| | **实现方法** | 直接求导解析解（非迭代） | 迭代更新（逐步逼近） | 最小二乘法是封闭解，梯度下降法需迭代[^1]。 | | **解的性质** | 全局最优（凸函数） | 可能局部最优（非凸函数） | 最小二乘法保证全局最优，梯度下降法依赖于初始点[^1][^4]。 | | **计算效率** | 小数据高效，大数据低效（$O(n^3)$） | 大数据高效（如 SGD $O(n)$） | 数据量大时梯度下降法更优，反之最小二乘法更快[^2][^4]。 | | **鲁棒性** | 对多重共线性敏感 | 对数据噪声和共线性更鲁棒 | 梯度下降法通过正则化易处理病态数据[^3][^4]。 | | **适用性** | 仅限线性模型和平方损失 | 广泛（线性/非线性模型） | 梯度下降法更灵活，可扩展至深度学习[^2][^4]。 | | **调参需求** | 无（无需学习率或迭代） | 需调学习率、迭代次数等 | 最小二乘法更简单，梯度下降法需经验调参[^1][^3]。 | **总结**：最小二乘法适合小规模、线性问题，追求精确解；梯度下降法适合大规模、复杂问题，强调灵活性和效率。实际应用中，常结合两者（如先用梯度下降法预处理，再用最小二乘法精调）[^1][^2][^3][^4]。 ---
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