0/1背包

问题描述：

0-1背包问题：给定n种物品和一背包。物品 i 的重量似乎 wi，其价值为 vi，背包的容量为 c。问应该如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？

另一种风格的描述：

假设你是一个小偷，背着一个可装下4磅东西的背包，你可以偷窃的物品如下：

为了让偷窃的商品价值最高，你该选择哪些商品？

简单算法

最简单的算法是：尝试各种可能的商品组合，并找出价值最高的组合。

这样显然是可行的，但是速度非常慢。在只有3件商品的情况下，你需要计算8个不同的集合；当有4件商品的时候，你需要计算16个不同的集合。每增加一件商品，需要计算的集合数都将翻倍！这种算法的运行时间是O(2ⁿ)，真的是慢如蜗牛。

动态规划

解决这样问题的答案就是使用动态规划！下面来看看动态规划的工作原理。动态规划先解决子问题，再逐步解决大问题。

对于背包问题，你先解决小背包（子背包）问题，再逐步解决原来的问题。

比较有趣的一句话是：每个动态规划都从一个网格开始。

背包问题的网格如下：

网格的各行为商品，各列为不同容量（1~4磅）的背包。所有这些列你都需要，因为它们将帮助你计算子背包的价值。

网格最初是空的。你将填充其中的每个单元格，网格填满后，就找到了问题的答案！

1.吉他行

后面会列出计算这个网格中单元格值得公式，但现在我们先来一步一步做。首先来看第一行。

这是吉他行，意味着你将尝试将吉他装入背包。在每个单元格，都需要做一个简单的决定：偷不偷吉他？别忘了，你要找出一个价值最高的商品集合。

第一个单元格表示背包的的容量为1磅。吉他的重量也是1磅，这意味着它能装入背包！因此这个单元格包含吉他，价值为1500美元。

下面来填充网格。

与这个单元格一样，每个单元格都将包含当前可装入背包的所有商品。

来看下一个单元格。这个单元格表示背包容量为2磅，完全能够装下吉他！

这行的其他单元格也一样。别忘了，这是第一行，只有吉他可供你选择，换而言之，你假装现在还没发偷窃其他两件商品。

此时你很可能心存疑惑：原来的问题说的额是4磅的背包，我们为何要考虑容量为1磅、2磅等得背包呢？前面说过，动态规划从小问题着手，逐步解决大问题。这里解决的子问题将帮助你解决大问题。

别忘了，你要做的是让背包中商品的价值最大。这行表示的是当前的最大价值。它指出，如果你有一个容量4磅的背包，可在其中装入的商品的最大价值为1500美元。

你知道这不是最终解。随着算法往下执行，你将逐步修改最大价值。

2.音响行

我们来填充下一行——音响行。你现在处于第二行，可以偷窃的商品有吉他和音响。

我们先来看第一个单元格，它表示容量为1磅的背包。在此之前，可装入1磅背包的商品最大价值为1500美元。

该不该偷音响呢？

背包的容量为1磅，显然不能装下音响。由于容量为1磅的背包装不下音响，因此最大价值依然是1500美元。

接下来的两个单元格的情况与此相同。在这些单元格中，背包的容量分别为2磅和3磅，而以前的最大价值为1500美元。由于这些背包装不下音响，因此最大的价值保持不变。

背包容量为4磅呢？终于能够装下音响了！原来最大价值为1500美元，但如果在背包中装入音响而不是吉他，价值将为3000美元！因此还是偷音响吧。

你更新了最大价值。如果背包的容量为4磅，就能装入价值至少3000美元的商品。在这个网格中，你逐步地更新最大价值。

3.笔记本电脑行

下面以同样的方式处理笔记本电脑。笔记本电脑重3磅，没法将其装入1磅或者2磅的背包，因此前两个单元格的最大价值仍然是1500美元。

对于容量为3磅的背包，原来的最大价值为1500美元，但现在你可以选择偷窃价值2000美元的笔记本电脑而不是吉他，这样新的最大价值将为2000美元。

对于容量为4磅的背包，情况很有趣。这是非常重要的部分。当前的最大价值为3000美元，你可不偷音响，而偷笔记本电脑，但它只值2000美元。

价值没有原来高，但是等一等，笔记本电脑的重量只有3磅，背包还有1磅的重量没用！

在1磅的容量中，可装入的商品的最大价值是多少呢？你之前计算过。

根据之前计算的最大价值可知，在1磅的容量中可装入吉他，价值1500美元。因此，你需要做如下的比较：

你可能始终心存疑惑：为何计算小背包可装入的商品的最大价值呢？但愿你现在明白了其中的原因！余下了空间时，你可根据这些子问题的答案来确定余下的空间可装入哪些商品。笔记本电脑和吉他的总价值为3500美元，因此偷它们是更好的选择。

最终的网格类似于下面这样。

答案如下：将吉他和笔记本电脑装入背包时价值更高，为3500美元。

你可能认为，计算最后一个单元格的价值时，我使用了不同的公式。那是因为填充之前的单元格时，我故意避开了一些复杂的因素。其实，计算每个单元格的价值时，使用的公式都相同。这个公式如下。

你可以使用这个公式来计算每个单元格的价值，最终的网格将与前一个网格相同。现在你明白了为何要求解子问题了吧？你可以合并两个子问题的解来得到更大问题的解。

4.再增加一件商品将如何呢

假设你发现还有第四件商品可偷——一个iPhone！（或许你会毫不犹豫的拿走，但是请别忘了问题的本身是要拿走价值最大的商品）

此时需要重新执行前面所做的计算吗？不需要。别忘了，动态规划逐步计算最大价值。到目前为止，计算出的最大价值如下：

这意味着背包容量为4磅时，你最多可偷价值3500美元的商品。但这是以前的情况，下面再添加表示iPhone的行。

我们还是从第一个单元格开始。iPhone可装入容量为1磅的背包。之前的最大价值为1500美元，但iPhone价值2000美元，因此该偷iPhone而不是吉他。

在下一个单元格中，你可装入iPhone和吉他。

对于第三个单元格，也没有比装入iPhone和吉他更好的选择了。

对于最后一个单元格，情况比较有趣。当前的最大价值为3500美元，但你可以偷iPhone，这将余下3磅的容量。

3磅容量的最大价值为2000美元！再加上iPhone价值2000美元，总价值为4000美元。新的最大价值诞生了！

最终的网格如下。

问题：沿着一列往下走，最大价值可能降低吗？

答案是：不可能。因为每次迭代时，你都存储的是当前的最大价值。最大价值不可能比以前低！

相信看到这里，并且亲手推导过网格，应该对动态规划的状态转移方程背后的逻辑有了更深的理解。现在，再回头看01背包问题的经典描述，并实现代码。

问题描述：

给定 3 件物品，物品的重量为 weight[]={1,3,1}，对应的价值为 value[]={15,30,20}。现挑选物品放入背包中，假定背包能承受的最大重量 W 为 4，问应该如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？

令 dp[i][w] 表示前 i 件物品放入容量为 w 的背包中可获得的最大价值。为了方便处理，我们约定下标从 1 开始。初始时，网格如下：

根据之前已经引出的状态转移方程，我们再来理解一遍，对于编号为 i 的物品：

• 如果选择它，那么，当前背包的最大价值等于” i 号物品的价值“ 加上 ”减去 i 号物品占用的空间后剩余的背包空间所能存放的最大价值“，即dp[i][k] = value[i] + dp[i-1][k-weight[i]]；
• 如果不选择它，那么，当前背包的价值就等于前 i-1 个物品存放在背包中的最大价值，即 dp[i][k] = dp[i-1][k]

转移方程：

dp(i,j) = max(dp(i-1,j),dp(i-1,j-w(i))+v(i));

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3;
int dp[N][N];//二维 
int n, m;
int w[N],v[N];
int cp[N];//一维 
int main()
{
	cin >> m >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> w[i] >> v[i];
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
//		for(int j = 1; j <= m; j++)//二维 
//		{
//			int without = dp[i - 1][j];
//			int with = 0;
//			if(j >= w[i])
//			{
//				with = dp[i - 1][j - w[i]] + v[i];
//			}
//			dp[i][j] = max(without, with);
//		}
		for (int j = m; j >= 1 ; j--)//一维 
		{
			int with = 0;
			if(j >= w[i])
			{
				with = cp[j - w[i]] + v[i];
			}
			int without = cp[j];
			cp[j] = max(with,without);
		}
	}
//	cout << dp[n][m];//二维 
	cout << cp[m];//一维 
}