0-1背包问题(Knapsack Problem)-动态规划方法（C语言递归和迭代)

0-1背包问题(Knapsack Problem)-动态规划方法（递归和迭代)

前言

背包0-1问题属于典型的求最大/最小子集问题范畴，它不像rod-cutting或matrix-chain-multiplication等问题，求解过程是按照单位等增或单位递减，0-1背包问题属于在集合范围内的某一个值，而且这些值大概率不是连续值。

问题描述

假定有N件物品，每件物品具有特定的价值value[i]和重量weight[i](1<=i<=N)；现给定一个背包，此背包有总重量的限制W，求解这个包装载的物品具有最大价值和。

为什么把此问题称作0-1问题呢？ 因为每件物品都有两种状态，如果没有选择，可以称作为状态0，如果选择，那么可以标记为状态1.

用具体的示例进行说明，为了阐述方便，我们规定物品有3件，背包最大承重W<=50kg, 表格勾画出问题。

Item # No.	Value	Weight
1	60	10
2	100	20
3	120	30

如果我们用穷举法，可以得到8类不同的组合，对于每个不同组合，可以计算其总价值和总重量，最后选择满足总重量要求的最大价值。

其中灰色代表左边的物件未放入背包，绿色代表物件已经背包，需要考虑其重量和价值。我们以C3选择为例说明，C3选择了物件1和物件2放入背包，那么我们就可以求出背包内所放置物品的价值总和 与 重量总和**(160,30)**。
$$sum\_value=\sum (60+100)=160$$

$$sum\_weight=\sum (10+20)=30$$

通过观察，可以发现C7包含的价值最大,为280；但同时如果考虑背包所能最大的承重 W<=50,那么显然C7不符合求解要求。再继续观察，我们发现 C6组合**(220,50)**既满足背包最大承重要求，也满足价值最大的要求，那么C6就是我们最终的选择，也即选择物件2和物件3放入背包，可以获得最大的价值。

针对三件物品，我们可以采用穷举法罗列所有可能的选项，如果物品件数较多，假设有10件物品，就需要罗列1024次才可能求出最终的解；假定有N件物品，如果采用穷举法，我们需要进行2^N 罗列才能求出解，显然这样效率很低，在N较大时候，程序运行效率很低，甚至无法求解。

按照《算法导论》的模板，仍然采用CRCC模式对此问题进行分析。

a) 表征最优解的结构(Characterize the structure of optimal solution)

要计算背包所能装载的最大价值，同时满足背包的承重要求。如果我们走一个极端，如果背包可以无限承重，那么此问题就转换为所有物品价值简单求和的问题，因为物品的价值总为正，物品越多，那么其放入背包后的价值就越大，在此极端情况下，我们不需要用到任何优化，运用动态规划意义不大。

所以我们最优解的结构一定包含两个参数，参数之一为物件的数量n(1<=n<=N)，另外一个参为背包的最大承重W，作为约束条件物件的重量总和必须≤W.

如果采用朴素的函数语言，我们可以将表征最优解的结构抽象为函数结构：
f ( n , w ) = m a x { f ( n − 1 , w ) , f ( n − 1 , w − w e i g h t [ n ] ) + v a l u e [ n ] } o r f ( n − 1 , w ) f(n,w)=max\{f(n-1,w),f(n-1,w-weight[n])+value[n]\} or f(n-1,w) f(n,w)=max{ f(n−1,