LCT学习笔记

一、什么是势能分析？
势能分析首先要有一个势能函数F(S)，S是一个数据结构集合，是你要分析的所有数据结构的集合，比如说你要分析一坨splay/lct森林的时间复杂度，那么f就是splay/lct森林的势能函数，而不仅仅是一棵splay/lct，虽然它也可以是。
对于每一次操作，我们进行这样的放缩：实际运行代价+势能改变量 ≤G(n)(n=|S|)。G(n)是一个比较良性的函数。那么我们把所有操作的此式加起来，就有：总运行代价+总势能改变量≤每一次操作的G(n)之和。那么就有总运行代价≤每一次操作的G(n)之和-总势能改变量≤每一操作的G(n)之和的上界-总势能改变量的下界。
二、如何分析splay的时间复杂度？
我们令$F(S)=\sum_{x \in S}f(x),f(x)=\log s(x)$,s(x)=以x为根的splay子树的大小。为什么要设这个函数呢？我感觉最主要的原因就是我们希望它的时间复杂度是logn的，其次是对加减操作套以log会让它更易于放缩。
splay的工作方式是当你splay x的时候，检查x的父亲是否是根，如果是的话就把x旋到根；否则的话就看旋转x的父亲和旋转x的方向是否一致，一致的话就先旋x的父亲再选x，否则就旋两次x。
为什么要这么做呢？实际上是因为如果双旋的话操作代价的常数因子是可以被放缩掉的。根据上文所述，我们需要考虑的是每一次旋转的势能改变量+1（大小没有关系，只是表示它是个常数）。
设一次旋转后的f(x)为f’(x)，旋转前的还叫f(x).
我们对三种情况分别考虑。

$$f'(x)+f'(y)-f(x)-f(y)+1\\ =f'(y)-f(x)+1\\ \le f'(x)-f(x)+1$$

$$f'(x)+f'(y)+f'(z)-f(x)-f(y)-f(z)+2$$ (+2是为了下面方便化式子，常数而已。)

≤f′(y)+f′(z)−2f(x)+2≤2(f′(x)−f(