【动态规划】完全背包问题详解超详细总结 dp

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已于 2023-03-08 11:05:27 修改 · 792 阅读

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#算法 #动态规划 #数据结构 #c++

于 2023-03-07 18:01:54 首次发布

文章介绍了完全背包问题的定义，即在背包容量限制下，如何选择物品以最大化总价值。通过动态规划（DP）的视角，分析了从两维状态表示到一维优化的过程，提供了代码示例展示如何逐步优化解决方案，包括从朴素版到减少一维，再到极限优化的版本。

什么是完全背包问题？

有n种物品和一个容量是m的背包，每种物品都有无限件可用。第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大，输出最大价值。

dp问题的通用分析方法

在这里插入图片描述

先考虑用几维状态来表示，背包问题一般用两维表示。【经验】
状态计算是把每个状态一步一步算出来。
DP优化一般是指对动态规划的代码或计算方程做一个等价变形。一般是先将最基本的代码写出来再考虑去优化。
这里介绍的DP理解方式是从集合的角度去理解。这里以0-1背包为例子，f(i, j)对应一个集合，是只考虑前i个物品，且背包容量不超过j的所有选法构成的一个集合。（一个选法是指从第1到第i个物品，经过的物品你要么选，你要么不选，这就构成一种选法）
f(i, j)一定是集合的某种属性（这种属性一般可以是Max、Min、数量等等）

具体分析

在这里插入图片描述
第i个物品可以选0~k个，其中k * v[i] ≤ j，(k + 1) * v[i] > j。
具体细节详看代码，如果有疑点可以回顾我之前写的0-1背包问题。

代码——朴素版

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;
int w[N], v[N], f[N][N];
int n, m;
int main(){
   
   
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for