信号与系统小总结：时域与频域

连续性与周期性

时域连续，频域非周期。时域离散，频域周期。

带限与时限

时限相当于加窗，与窗函数相乘，对应频域与Sa函数卷积，因此时限一定有无穷的频谱。同样，带限信号一定是非因果的，一定有无穷的时域。所以加窗一定有频谱泄露，选择合适的窗函数可减少频谱泄露。

周期化与离散化

时域周期化，一定对应着频域的离散化，而周期T（对于非时限信号，T为截断的时间）与频谱离散化的频率分辨率W0有这样的关系：
$T=\frac{2\pi }{w_0}$
可据此计算，当给定频率分辨率时，如何截取信号才能保证。
时域离散化，即抽样，对应着频域的周期化，此时要考虑频谱混叠的问题。同样，抽样时间间隔Ts与频谱周期Ws有这样的关系：
$T_s=\frac{2\pi }{w_s}$
可据此计算，当给定频率上限时，选取多少个样本点可保证频谱信息不丢失。
所以离散频谱的间隔（分辨率）等于时域的基频，周期频谱的周期等于抽样频率。

四种信号的Fourier分析

Fourier分析的本质是信号的频域分解，即将信号视为不同频率成分的叠加。这也是积分变换的本质。积分变换就是将函数x(t)写为积分（求和）形式，不同的核就形成不同的积分变换，而核的系数就是我们要找的频域成分。

1. FS：连续周期信号各频率复振幅

将连续周期信号x(t)写为：
$x(t)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }{X}_k{e}^{jwt}$
显然，Xk具有清晰的物理意义：复振幅。Xk的计算方法：
$X_k=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-jwt}dt$
这就是傅里叶级数FS

2. DFS：离散周期信号各（数字）频率分量的复振幅

将离散周期信号x[n]写为
$x[n]={\sum }_{k=0}^{N-1}X[k]e^{jk{\Omega }_{0}n}$
X[k]同样具有清晰的物理意义复振幅。
X [ k ] = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] e − j k Ω 0 n X[k]=\dfrac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jk\Omega_0n} X[k]=N1​∑