AcWing 282. 石子合并(区间DP)

最新推荐文章于 2024-04-10 15:47:43 发布

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本文探讨了区间动态规划在解决合并石子堆问题中的应用。通过枚举区间长度和端点，寻找最佳合并策略，以实现最小化的总代价。算法详细介绍了状态表示、状态计算及代码实现。

区间DP：所以要枚举区间长度和区间左右端点。

设有N堆石子排成一排，其编号为1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这N堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有4堆石子分别为 1 3 5 2，我们可以先合并1、2堆，代价为4，得到4 5 2，又合并 1，2堆，代价为9，得到9 2 ，再合并得到11，总代价为4+9+11=24；

如果第二步是先合并2，3堆，则代价为7，得到4 7，最后一次合并代价为11，总代价为4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式

第一行一个数N表示石子的堆数N。

第二行N个数，表示每堆石子的质量(均不超过1000)。

输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

数据范围

1≤N≤3001≤N≤300

输入样例：

4
1 3 5 2

输出样例：

算法思想：

区间动态规划：

状态表示：

集合：合并区间 i 到 j 的石子的所有方案的集合。

属性：计算合并最小代价MIN。

状态计算：

划分点：最后一次计算肯定是合并相邻的两堆，也只有两堆。所以需要分为两堆。

区间内我们可以选择i、i+1、i+2......j-1等作为划分点，然后计算得到代价的的最小值。

我们可以不失一般性的划分为两堆，选 k 作为分割点，则f[i][j]就等于f[i][k] + f[k+1][j] 再加上这两堆合并的损耗。可以使用前缀和存储，即s[j] - s[j - 1]。最终结果就是f[i][j] = min(f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1])

代码如下：



import java.io.*;
import java.lang.*;

class Main{
    static int n = 0;
    static int[] nn = new int[310];
    static int[][] f = new int[310][310];
    
    public static void main(String[] args)throws Exception{
        BufferedReader buf = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        n = Integer.valueOf(buf.readLine());
        String[] nums = buf.readLine().split(" ");
        for(int i = 1; i <= n; ++i){//石子从第一堆到最后一堆的前缀和
            nn[i] = nn[i - 1] + Integer.valueOf(nums[i - 1]);
        }
        //枚举区间长度（我们要合并的区间的长度，当len=2时，我们合并相邻两堆，=3时合并三堆等等，=n时合并n堆）
        for(int len = 2; len <= n; ++len){
            for(int i = 1; i + len - 1 <= n; ++i){//枚举左端点和右端点，len是区间长度，相当于一个长度固定的滑动窗口
                int j = i + len - 1;
                f[i][j] = 0x3f3f3f3f;//给f[i][j]一个较大的初始值，方便计算出最小值
                for(int k = i; k < j; ++k){//计算合并len长度的石子的最小值
                    f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + nn[j] - nn[i - 1]);
                }
            }
        }
        System.out.print(f[1][n]);
    }
    
}