【AcWing】线性DP、区间DP、计数类DP

一、线性DP

数字三角形

给定一个如下图所示的数字三角形，从顶部出发，在每一结点可以选择移动至其左下方的结点或移动至其右下方的结点，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数字的和最大。

     7
   3   8
 8   1   0
2   7   4   4
4   5   2   6   5

输入格式

第一行包含整数 n，表示数字三角形的层数。

接下来 n 行，每行包含若干整数，其中第 i 行表示数字三角形第 ii 层包含的整数。

输出格式

输出一个整数，表示最大的路径数字和。

数据范围

1≤n≤500
−10000≤三角形中的整数≤10000

输入样例：

5
7
3 8
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5

输出样例：

30

1. 状态表示：f[i,j]
   1. 集合：所有从起点，走到(i,j)的路径
   2. 属性：集合中，所有路径上的数字之和的最大值
2. 状态计算：集合的划分
   
   因此f[i,j] = 左右两种情况取Max

注意，当涉及到i-1这种下标，一般在初始化时下标从1开始，来避免越界

dp时间复杂度计算=状态数量*转移计算量

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=510,INF=1e9;

int n;
int a[N][N];
int f[N][N];//存储的是走到(i,j)这个点，路径上的所有数字之和

int main(){
   
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
   
    //初始化
    //在边界点也会计算上左和上右，但这两个点在边界时不存在，但需要初始化为负无穷
    //故j需要多初始化0和i+1
    for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=i+1;j++)
            f[i][j]=-INF;
            
    f[1][1]=a[1][1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            f[i][j]=max(f[i-1][j-1]+a[i][j],f[i-1][j]+a[i][j]);
            
    int res=-INF;
    for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,f[n][i]);//遍历一下最后一层，找出最大的那个
    
    printf("%d\n",res);
    return 0;
}

也可以用倒叙dp，会更简单些，不需要考虑边界问题

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=510;
int f[N][N];
int n;

int main(){
   
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
   
        for(int j=1;j<=i;j++){
   
            cin>>f[i][j];
        }
    }

    for(int i=n;i>=1;i--){
   
        for(int j=i;j>=1;j--){
   
            f[i][j]=max(f[i+1][j],f[i+1][j+1])+f[i][j];
        }
    }
    cout<<f[1][1]<<endl;
}

最长上升子序列I

给定一个长度为 N 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式

第一行包含整数 N。

第二行包含 N 个整数，表示完整序列。

输出格式

输出一个整数，表示最大长度。

数据范围

1 ≤ N ≤ 1000，
−10^ 9≤ 数列中的数 ≤ 10^9

输入样例：

7
3 1 2 1 8 5 6

输出样例：

4

1. 状态表示：f[i]:以i结尾的最长上升子序列的长度

   1. 集合：所有以第i个数结尾的上升子序列
   2. 属性：集合里每一个上升子序列的长度的Max

2. 状态计算：集合的划分

   以前一个数字是第几个来分类
   
   状态转移方程：f[i]=max(f[j]+1),j=0,1,2,...,i-1

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=1010;

int n;
int a[N],f[N];

int main