“蔚来杯“2022牛客暑期多校训练营4 A题: Task Computing

A题: Task Computing

原题链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/33189/A

题目大意

有 $n$ 台云服务器，第 $i$ 台具有计算效率 $w_i$ 和传输效率 $p_i$ 。
对于一个计算任务，需要恰好在 $m$ 台服务器上计算，设这 $m$ 台服务器依次为 $a_1,a_2,...,a_m$ 则最终计算效率为
$$\sum _{i=1}^m{w}_{a_i}\prod _{j=0}^{i=1}{p}_{a_j}$$
初始 $a_0=0,p_0=1$ 。
求这 $m$ 台服务器在最优排序下的最大计算效率。

题解

考虑在最优解中相邻的两台云服务器 $a_k,a_{k+1}$ ，设 $a_k=x,a_{k+1}=y$ (即 $w_{a_k}=w_x,p_{a_{k+1}}=p_y$ )。
则显然此时的总贡献为
$$W=\sum _{i=1}^{k-1}{w}_{a_i}\prod _{j=0}^{i-1}{p}_{a_j}+w_x\prod _{j=0}^{k-1}{p}_{a_j}+w_y{p}_x\prod _{j=0}^{k-1}{p}_{a_j}+\sum _{i=k+2}^m{w}_{a_i}\prod _{j=0}^{i-1}{p}_{a_j}$$

(第三项中 $w_y{p}_x\prod _{j=0}^{k-1}{p}_{a_j}=w_y\prod _{j=0}^k{p}_{a_j}$ )
若我们交换这两台云服务器，即令 $a_k=y,a_{k+1}=x$ 。
则显然此时的总贡献为
$$W^{\prime }=\sum _{i=1}^{k-1}{w}_{a_i}\prod _{j=0}^{i-1}{p}_{a_j}+w_y\prod _{j=0}^{k-1}{p}_{a_j}+w_x{p}_y\prod _{j=0}^{k-1}{p}_{a_j}+\sum _{i=k+2}^m{w}_{a_i}\prod _{j=0}^{i-1}{p}_{a_j}$$

做差可得
$$\begin{array}{rl}W-W^{\prime }& =(w_x\prod _{j=0}^{k-1}{p}_{a_j}+w_y{p}_x\prod _{j=0}^{k-1}{p}_{a_j})-(w_y\prod _{j=0}^{k-1}{p}_{a_j}+w_x{p}_y\prod _{j=0}^{k-1}{p}_{a_j})\\ & =\prod _{j=0}^{k-1}{p}_{a_j}(w_x+w_y{p}_x-w_y-w_x{p}_y)\end{array}$$

因为在最优解中 $a_k=x,a_{k+1}=y$ ，故 $W-W^{\prime }\ge 0$ ，因为 $\prod _{j=0}^{k-1}{p}_{a_j}>0$ ， 所以可得 $w_x+w_y{p}_x-w_y-w_x{p}_y\ge 0$ ，根据该公式进行排序后，最优解肯定为云服务器的一个子序列(因为排序后换位不可能使答案更优了)。

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关于偏序性的证明

$$\begin{array}{rl}{w}_x+w_y{p}_x-w_y-w_x{p}_y& \ge 0\\ w_x-w_x{p}_y& \ge w_y-w_y{p}_x\\ w_x(1-p_y)& \ge w_y(1-p_x)\\ \frac{1-p_y}{w_y}& \ge \frac{1-p_x}{w_x}\end{array}$$

该式左右两边分别只与 $y,x$ 有关，显然具有传递性。

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排序后，注意我们不能设状态 $d{p}_{i,j}$ 表示前 $i$ 台云服务器中选择 $j$ 台的最优效率，然后大力 $dp$ 。考虑到对于式 $\sum _{i=1}^m{w}_{a_i}\prod _{j=0}^{i=1}{p}_{a_j}$ ，前面所选择的云服务器的 $p$ 会对后面存在影响，因此存在后效性，不能直接 $dp$ (同时我们也不能将 $p$ 作为状态保存，复杂度不允许，而且浮点数也不方便保存)。

因此，我们设状态 $d{p}_{i,j}$ 表示从第 $i$ 到$n$ 台云服务器中选择 $m$ 台的最优效率，此时后面所选择的云服务器不会对排在前面的云服务器造成影响，无后效性，可行。
易得转移式:
$$d{p}_{i,j}=max\{\begin{array}{ll}d{p}_{i+1,j}& (不选择第i台云服务器)\\ d{p}_{i+1,j-1}\ast p_i+w_i& (选择第i台云服务器)\end{array}$$

最终答案即为 $d{p}_{1,m}$ 。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

template<class T>inline void read(T&x){//快读
	char c,last=' ';
	while(!isdigit(c=getchar()))last=c;
	x=c^48;
	while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);
	if(last=='-')x=-x;
}

const int MAXN=1e5+5;
int n,m;
double dp[MAXN][25];
struct node{
	int w;
    double p;
}a[MAXN];
bool cmp(node a,node b){
	return (1-a.p)/a.w<(1-b.p)/b.w;//注意sort时不允许有等号
}

int main()
{
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=n;++i)read(a[i].w);
	for(int i=1;i<=n;++i)cin>>a[i].p,a[i].p/=10000;
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	double ans=0;
	for(int i=n;i>=1;--i){
		for(int j=1;j<=min(m,n-i+1);++j){
			dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j-1]*a[i].p+a[i].w);
        }
	}
	cout<<fixed<<setprecision(12)<<dp[1][m]<<'\n';
	return 0;
}