“蔚来杯“2022牛客暑期多校训练营4 M题: Monotone Chain

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该博客介绍了如何判断多边形链是否对于某个射线是单调的。通过分析线段之间的角度关系，确定射线的方向应该在哪些范围内，最后检查这些范围是否有交集来得出结论。提供的参考代码使用C++实现，通过叉乘判断向量方向并寻找交集。

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M题: Monotone Chain

原题链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/33189/M

题目大意

多边形链由一系列相连的线段构成，可以表示为一系列线段的端点 ${A_1,A_2,...,A_n\}$ 。

给定射线 $La,b={a+λb∣λ∈R}L_{a,b}=\{a+\lambda b|\lambda \in \R \}$ ，定义多边形链 $C=\{A_1,A_2,...,A_n\}$ 单调于射线 $L_{a,b}$ ，当且仅当:

$∀1≤i<j≤n,(OAi−a)⋅b≤(OAj−a)⋅b\forall 1\le i< j\le n,(OA_i-a)⋅b \le(OA_j-a)⋅b$
其中 $OA_i$ 表示 $A_i$ 的坐标， $\cdot$ 表示向量的点乘

给定 $n$ 个点的多边形链 $C$ ，判断是否存在射线 $L_{a,b}$ 使得多边形链 $C$ 单调于射线 $L_{a,b}$ ，若有则求出任意解。

题解

$∀v⃗=AiAi+1(1≤i<n)\forall \vec{v}=A_iA_{i+1}(1\le i<n)$ ，发现射线 $L_{a,b}$ 的方向与 $v⃗\vec{v}$ 的夹角应不超过 $90°$ ，换句话说，射线的方向都在以 $v⃗\vec{v}$ 为角平分线的平角范围内。
不妨对所有的 $v⃗\vec{v}$ 求出可行的射线方向范围，然后验证是否有交集即可
当表示方向的范围时，可以用向量来保存两个边界(逆时针的最大方向与顺时针的最大方向)，然后用叉乘判断交集是否存在即可。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

template<class T>inline void read(T&x){//快读
	char c,last=' ';
	while(!isdigit(c=getchar()))last=c;
	x=c^48;
	while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);
	if(last=='-')x=-x;
}

#define ll long long
const int MAXN=1e5+5;
int n;

struct Point{//向量表示
	ll x,y;
}P[MAXN];

ll operator^(Point&a,Point&b){//叉乘,用于判断方向
	return a.x*b.y-a.y*b.x;
} 

int main()
{
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;++i)read(P[i].x),read(P[i].y);
	bool ok=0;//0表示还没有初始化
	Point L={1,1},R;//若所有点都重合时,输出0 0 1 1作为答案
	for(int i=1;i<n;++i){
		Point p={P[i+1].x-P[i].x,P[i+1].y-P[i].y},l,r;//求出折线当前段
		if(p.x==0&&p.y==0)continue;//如果两点重合，跳过
		l={-p.y,p.x},r={p.y,-p.x};//l表示以当前段作为角平分线时的逆时针边界,r表示顺时针边界
		if(!ok){//还没有初始化，则将当前范围直接作为交集
			ok=1;
			L=l,R=r;
			continue;
		}
		if((l^R)>0&&(r^L)<0){//出现无交集的情况，即无解
			puts("NO");exit(0);
		}
		if((l^L)>0)L=l;//逆时针边界缩小
		if((r^R)<0)R=r;//顺时针边界缩小
	}
	puts("YES");
	cout<<"0 0 "<<L.x<<' '<<L.y<<'\n';//因为是闭区间，直接取边界作为答案即可
	return 0;
}