洛谷P4099: [HEOI2013]SAO(类树上背包+前缀和优化)

本文详细介绍了洛谷P4099题目的解决方案,该题涉及树上动态规划(树上背包)和前缀和优化。通过分析拓扑序,建立dp状态转移方程,利用前缀和技巧,实现了O(n^2)的时间复杂度求解树上问题。

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洛谷P4099: [HEOI2013]SAO

原题链接: https://www.luogu.com.cn/problem/P4099

题解

由题意可知给出的是一棵树,考虑树上 dpdpdp
因为题目对拓扑序有限制,不妨设 fx,pf_{x,p}fx,p 表示拓扑遍历以 xxx 为根的子树, xxx 在拓扑序中第 ppp 位的序列数。考虑转移方程,假设目前已经遍历 xxx 的前 i−1i-1i1 个儿子,正在用第 iii 个儿子 sonsonson 进行更新。
记:

  • sonsonson 是当前正在更新的儿子
  • sizXsizXsizXxxx 与其前 i−1i-1i1 个儿子构成的连通块的大小(原拓扑序长度)
  • sizSsizSsizS 是以 sonsonson 为根的子树的大小
  • gx,pg_{x,p}gx,p 表示前 i−1i-1i1 个儿子更新的结果(与 fx,pf_{x,p}fx,p 作区分)
  • pre=p−1pre=p-1pre=p1 表示原来序列在 xxx 前的节点数
  • suf=sizX−psuf=sizX-psuf=sizXp 表示原来序列在 xxx 后的节点数

若边 (son,x)(son,x)(son,x) 访问方向为从 sonsonsonxxx ,我们尝试将 sonsonson 子树内的拓扑序列插入要更新的拓扑序列中,同时保证 sonsonsonxxx 前,不妨枚举 sonsonson 的拓扑序中前 jjj 个节点在 xxx 前遍历,可得:
fx,p=∑j=0sizSgx,p−j∗(∑k=1jfson,k)∗Cpre+jj∗Csuf+sizS−jsizS−jf_{x,p}=\sum_{j=0}^{sizS}g_{x,p-j}*(\sum_{k=1}^{j}f_{son,k})*C_{pre+j}^j*C_{suf+sizS-j}^{sizS-j}fx,p=j=0sizSgx,pj(k=1jfson,k)Cpre+jjCsuf+sizSjsizSj

式子分析: 无论插入状况如何,原序列和插入序列的方案数不相互影响,可独立相乘。对于插入分别考虑 xxx 前后的插入位置,上组合数即可。

若边 (x,son)(x,son)(x,son) 访问方向为从 xxxsonsonson ,类似的,稍微更改即可:
fx,p=∑j=0sizSgx,p−j∗(∑k=j+1sizSfson,k)∗Cpre+jj∗Csuf+sizS−jsizS−jf_{x,p}=\sum_{j=0}^{sizS}g_{x,p-j}*(\sum_{k=j+1}^{sizS}f_{son,k})*C_{pre+j}^j*C_{suf+sizS-j}^{sizS-j}fx,p=j=0sizSgx,pj(k=j+1sizSfson,k)Cpre+jjCsuf+sizSjsizSj

两式中含 kkk 的括号项可由前缀和 O(1)O(1)O(1) 求出,枚举 p,jp,jp,j 的复杂度为树上背包复杂度 O(n2)O(n^2)O(n2)
代码中树上背包用从前向后递推,有少许改动,请注意。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

template<class T>inline void read(T&x){
	char c,last=' ';
	while(!isdigit(c=getchar()))last=c;
	x=c^48;
	while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);
	if(last=='-')x=-x;
}

const int MAXN=1e3+7,P=1e9+7;
int n;
int M[MAXN][MAXN];//标记边的方向
int C[MAXN][MAXN];//组合数
vector<int>e[MAXN];//边
int f[MAXN][MAXN];//树上dp
int s[MAXN][MAXN];//前缀和
int siz[MAXN];

void init(){//预处理组合数
	for(int i=0;i<MAXN;++i){
		C[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;++j){
			C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%P;
		}
	}
}

void dfs(int u,int fa){
	siz[u]=1;
	f[u][1]=1;
	for(int i=0,v;i<(int)e[u].size();++i){
		v=e[u][i];
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,u);
		if(M[v][u]==1){//v->u(即文中son->x)
			for(int p=siz[u];p>=1;--p){//逆向枚举,背包惯用压维套路
				int pre=p-1,suf=siz[u]-p;
				for(int j=1;j<=siz[v];++j){//更新,注意j没必要枚举0,因为v至少要在u前
					f[u][p+j]=(f[u][p+j]+1ll*f[u][p]*s[v][j]%P*C[pre+j][j]%P*C[suf+siz[v]-j][suf]%P)%P;
				}
				f[u][p]=0;//清空原来作为g的f
			}
		}
		else{//u->v(即文中x->son)
			for(int p=siz[u];p>=1;--p){
				int pre=p-1,suf=siz[u]-p;
				for(int j=1;j<=siz[v];++j){//不要枚举j=0,在最后更新
					f[u][p+j]=(f[u][p+j]+1ll*f[u][p]*(s[v][siz[v]]-s[v][j])%P*C[pre+j][j]%P*C[suf+siz[v]-j][suf]%P)%P;
				}
				f[u][p]=1ll*f[u][p]*s[v][siz[v]]%P*C[suf+siz[v]][suf]%P;//转移g[u][p]->f[u][p](即j=0转移)
			}
		}
		siz[u]+=siz[v];//更新siz
	}
	for(int i=1;i<=siz[u];++i)s[u][i]=(s[u][i-1]+f[u][i])%P;//更新前缀和
}

int main()
{
	init();
	int T;read(T);
	while(T--){
		read(n);
		for(int i=1;i<=n;++i){//初始化清空
			vector<int>().swap(e[i]);
			for(int j=1;j<=n;++j)f[i][j]=0;
		}
		for(int i=1,u,v;i<n;++i){
			char c;
			read(u),cin>>c,read(v);
			++u,++v;
			e[u].push_back(v),e[v].push_back(u);//建边无向
			if(c=='>')swap(u,v);
			M[u][v]=1;M[v][u]=2;//标记方向
		}
		dfs(1,0);
		cout<<(s[1][n]+P)%P<<'\n';//注意转负数
	}
	return 0;
}
<think>根据用户需求,用户希望寻找洛谷平台上适合练习的线段树相关经典练习题。结合引用内容,我们可以提取出一些经典的线段树题目。 引用[1]提到了洛谷P2824(排序),该题可以通过线段树分裂合并+set或者二分答案+线段树来解决,是一道经典题目。 引用[2]中提到了洛谷P1502(窗口的星星),是一道经典的扫描线问题(通常用线段树实现)。 引用[3]提到了一道分块练习题(但用户要求线段树),所以我们可以忽略分块,但其中提到线段树与树状数组过不了,说明该题可能设计为分块,所以不推荐。 引用[4]中提到了hdu1542(Atlantis,扫描线法)以及一道线段树练习题(未给出题号,但代码是线段树实现的海报张贴问题,似于洛谷P5490【模板】扫描线)。 此外,根据洛谷常见的线段树经典题,我们还可以补充一些: 1. 洛谷P3372 【模板】线段树1 - 区间修改(加法)、区间查询(求和) 2. 洛谷P3373 【模板】线段树2 - 区间修改(加法、乘法)、区间查询(求和) 3. 洛谷P5490 【模板】扫描线 - 矩形面积并(Atlantis问题) 4. 洛谷P2572 [SCOI2010]序列操作 - 多种区间操作(赋值、取反、求和、求连续1的个数) 5. 洛谷P1471 方差 - 维护区间和与区间平方和 6. 洛谷P1531 I Hate It - 区间最值、单点修改(较简单) 结合引用中提到的题目,我们重点推荐: 1. 洛谷P2824 [HEOI2016/TJOI2016]排序(引用[1]) 题目大意:给出一个1到n的全排列,现在进行m次局部排序,排序分为两种:(1)将区间[l,r]升序排序;(2)将区间[l,r]降序排序。最后询问第q位置上的数。 解题方法:二分答案+线段树 或 线段树分裂合并(较难)。该题是线段树应用的经典题目,可以锻炼对线段树的灵活运用。 2. 洛谷P1502 窗口的星星(引用[2]) 题目大意:平面上有n颗星星,每颗星星有一个亮度。用一个宽为W、高为H的矩形去框星星,求矩形能框住的星星的亮度之和的最大值(边框上的星星不算)。 解题方法:扫描线+线段树。该题是经典的扫描线问题,需要将问题转化为区间操作,并用线段树维护最大值。 3. 洛谷P5490 【模板】扫描线(引用[4]中hdu1542的同型题,在洛谷上为P5490) 题目大意:求n个矩形的面积并。 解题方法:扫描线+线段树。这是扫描线最基础的应用,适合学习扫描线算法。 4. 洛谷P2572 [SCOI2010]序列操作 题目大意:对一个01序列进行5种操作:区间置0、区间置1、区间取反、区间求和、区间求连续1的个数。 解题方法:线段树维护多个标记(覆盖标记、取反标记)和复杂信息(连续段)。这题对线段树的能力提升很大。 5. 洛谷P3373 【模板】线段树2 题目大意:区间乘、区间加、区间求和。线段树处理两种区间修改的模板题。 6. 洛谷P1471 方差 题目大意:维护一个数列,支持区间加,以及求区间平均值和区间方差。 解题方法:线段树维护区间和与区间平方和。通过数学推导,方差可以由平方和与和推导出来。 7. 洛谷P1531 I Hate It 题目大意:单点修改,区间查询最大值(RMQ问题)。 解题方法:线段树维护区间最大值。适合入门。 以上题目难度由浅入深,涵盖了线段树的基本操作、延迟标记、扫描线、复杂信息维护等。 相关问题: 1. 线段树在处理区间问题时有哪些优势? 2. 线段树在处理区间修改时,延迟标记(lazy tag)是如何工作的? 3. 扫描线算法通常用于解决哪些问题? 4. 如何用线段树维护区间历史最值? 5. 线段树和树状数组在应用上有何异同?</think>### 线段树经典练习题推荐(洛谷平台) 以下是结合经典题型和引用内容的推荐题目列表,难度由浅入深,覆盖线段树的核心应用场景: --- #### **1. 基础模板题** - **P3372 【模板】线段树1** - **内容**:区间加法、区间求和 - **推荐理由**:线段树最基础的模板题,适合入门[^2]。 - **P3373 【模板】线段树2** - **内容**:区间加法+乘法混合操作 - **关键点**:需处理多种标记的优先级(先乘后加)[^4]。 --- #### **2. 扫描线应用(面积/覆盖问题)** - **P5490 【模板】扫描线** - **内容**:求 $n$ 个矩形的面积并 - **方法**:扫描线+线段树维护区间覆盖长度[^4]。 - **P1502 窗口的星星** - **内容**:用固定窗口框住星星的最大亮度 - **技巧**:将点转化为矩形,扫描线求最大重叠值[^2]。 --- #### **3. 二分答案+线段树** - **P2824 [HEOI2016/TJOI2016]排序** - **内容**:对序列的局部区间升序/降序排序,最后查询单点值 - **解法**: 1. 二分答案 $x$,将序列转化为 $01$ 序列($≥x$ 为 $1$,否则为 $0$) 2. 用线段树模拟区间排序(统计 $1$ 的数量并区间赋值)[^1]。 --- #### **4. 动态开点与权值线段树** - **P3960 列队(NOIP2017)** - **内容**:矩阵中多次删除元素并添加到队尾 - **优化**:动态开点线段树维护区间删除和查询位置。 --- #### **5. 复杂标记与信息维护** - **P2572 [SCOI2010]序列操作** - **内容**:区间赋值、取反、求和、求连续 $1$ 的最大长度 - **难点**:设计标记传递规则,维护多维度信息(需记录左右端点状态)[^4]。 - **P1471 方差** - **内容**:维护区间方差 $s^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$ - **技巧**:转化为维护区间和 $\sum x_i$ 与区间平方和 $\sum x_i^2$[^2]。 --- #### **6. 空间优化与分块对比** - **分块练习题(如引用[3])** - **场景**:当空间限制严格时(如 $4\text{MB}$),分块可能优于线段树 - **思考点**:对比线段树与分块在时间/空间上的取舍[^3]。 --- ### 练习建议 1. **先掌握模板**:完成 `P3372` 和 `P3373`,理解延迟标记(lazy tag)的实现。 2. **再攻应用场景**:尝试扫描线(`P5490`)和二分答案(`P2824`)。 3. **最后挑战综合题**:如 `P2572` 需同时处理多种操作,适合检验综合能力。 > 提示:所有题目均可在洛谷在线评测系统提交,部分题目在引用[1]的OJ中已收录题解。 --- ###
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