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Data-driven optimal sensor placement for high-dimensional
system using annealing machine.数据驱动的高维最佳传感器放置 使用退火机的系统

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引用格式：Inoue, Tomoki, et al. “Data-driven optimal sensor placement for high-dimensional system using annealing machine.” Mechanical Systems and Signal Processing 188 (2023): 109957.pdf链接

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提出了一种使用退火机解决高维系统传感器最优放置问题的新方法。传感器点被计算为图的最大团问题，其边缘权重由从数据中获得的适当正交分解模式确定，该数据基于高维系统通常具有低维表示的事实。由于最大团问题等价于补图的独立集问题，因此使用富士通数字退火器来解决独立集问题。与现有的每一步选择最优点并且从不重新考虑先前选择的点的贪婪方法相比，所提出的方法是优越的，因为它能够找到最优的点集。作为高维系统的演示，根据计算的传感器点处的压力数据重建了通过压敏涂料法测量的压力分布，压敏涂料法是一种光流诊断方法。比较了压力传感器测量的压力与由所提出的方法、现有的贪婪方法和随机选择方法重建的压力之间的均方根误差（RMSE）。类似的RMSE是通过所提出的方法实现的，该方法使用了通过现有方法计算的大约1/5数量的传感器点。该方法作为一种解决传感器优化布置问题的新方法和退火机的一种新的工程应用具有重要意义。

Introduction

传感器的最佳放置问题长期以来一直受到关注，因为复杂系统的高性能控制中的快速数据采集、分析和决策可以通过在最佳位置进行少量测量来存档 [1,2]，并且有许多 可能的应用，如热流体传感 [3-5]、室内环境监测 [6]、结构健康监测 [7-10]、机器人传感 [11]、化工厂传感 [12]、农业环境监测 [13]、 等等。 此外，传感器数量的减少通常会导致测量系统成本的降低。 对于中等规模的系统，最佳传感器放置是通过凸优化 [2,14]、贝叶斯方法 [6,15] 和深度学习框架 [16] 等信息论框架来估计的。 然而，这些方法的计算成本很高，不适合应用于高维系统。 尽管提出了计算效率高的凸优化算法 [10]，但当考虑测量噪声时，凸性会丢失 [17]。 从信号重构的角度来看，提出了基于 QR 分解 [3] 和矩阵行列式 [5,18,19] 的贪婪优化作为可扩展方法。 然而，众所周知，贪心优化无法找到全局最优解。 在这些方法 [3,18] 中，使用 360×180 空间网格和 520 或 832 个快照的时间序列数据进行演示。 数据采集​​技术的巨大进步使数据量增加了 2 到 100 倍 [20-22]。 需要一种新的方法来为这些包含大量测量噪声的高维数据找到全局最优解。 由于最佳传感器放置问题是确定 n 维系统中 q 个传感器点的选择的组合问题之一，我们专注于退火机，特别是 Fujitsu Digital Annealer (DA) [23,24]，以解决该问题。 DA 被设计为一种专用架构，用于解决完全连接的二次无约束二元优化 (QUBO) 问题。 DA已被应用于解决材料科学[25,26]、生命科学[27]等组合优化问题。 DA 的工作原理和性能的详细信息在参考文献 [23,24] 中进行了讨论。
在本文中，我们提出了一种使用退火机解决高维系统最佳传感器放置问题的新方法，因为该问题可以映射到等效于 QUBO 问题的 Ising 模型 [28,29]。 我们使用第二代 DA (DA2)，它能够解决多达 8192 位的问题空间。 作为演示，将所提出的方法应用于 780×780 空间网格和 8192 个快照的高维流体动力学数据，这比现有研究中使用的数据大约 100 倍 [3,18]。 我们使用在我们之前的研究 [30] 中测量的方形圆柱体数据背后的压力分布。 研究中利用贪心优化法[18]计算出的最优放置点处的数据，对数据中的噪声进行了抑制。 也就是说，通过叠加多个模式来重建去噪压力分布，以匹配最佳放置点处的数据。 在这项研究中，将重建的压力数据与压力传感器测量的压力数据进行比较。 比较了所提方法与现有方法对重构数据的估计误差。

Method

$U$的第$i$列对应于第$i$个POD模式${\psi }_i$。数据可以近似表示为秩$r$截断SVD（r<m):
$$X\approx \hat{U}\hat{\sum }{\hat{V}}^T$$
观测向量$y$：
$$y\approx C\hat{U}a=\Theta a(4)$$
其中 $C\in R^{q\times n}$ 表示最佳传感器位置，其中每个元素为 0 或 1，并且 C 的每个行向量都有一个表示传感器位置的单位元素。 这里，q 是传感器的数量，r 是 POD 模式的截断秩。 问题是找到满足方程式(4)的传感器位置矩阵 C 的稀疏表示。 传感器矩阵 C 从空间数据$\hat{U}a$中选择点，但关注的是 $\Theta (=C\hat{U})$，也可以解释为从$\hat{U}$ 中选择行向量 $u_j$。 向量 $u_j\in R^r$ 的每个元素对应于所选点 $j$ 处每个 POD 模式的元素。 所选点很好地代表了空间信号，适合作传感器点。 然而，从选择少量传感器点的角度来看，相似度高的向量是不必要的，因为这些点表示相似的信息。 还需要注意的是，每种 POD 模式对现象表示的贡献是不同的； 然后，考虑 $\hat{U}\hat{\sum }$ 的行向量 ${\hat{u}}_j\in Rr$，其中每个 POD 模式由奇异值 $\sum$ 加权。 然后，我们考虑一个边加权无向图 $\mathcal{G}$ ，其每个顶点（节点）对应于每个点（每个行向量 ${\hat{u}}_j$ ），并且所有顶点通过边相互连接。 虽然边的权值有多种选择，但我们将边的端点对应的两个加权行向量${\hat{u}}_k$ 和${\hat{u}}_j$ 叉积的$l_2$ 范数作为权值$w({\hat{u}}_k,{\hat{u}}_j)$。 然后，权重描述如下：
$$w({\hat{u}}_k,{\hat{u}}_l)=||{\hat{u}}_k\times {\hat{u}}_l|{|}_2$$
当${\hat{u}}_k$和${\hat{u}}_l$之间的相似度较低且每个向量的 $l_2$ 范数较大时，权重会更大。 然后，我们找到一组由具有大权重 w 值的边连接的顶点，以找到最佳传感器点。 我们从无向图 ${\mathcal{G}}_c$中选择 q 个最优传感器点作为最大团问题，其每个权重都大于 c。 需要注意的是，权重c的阈值决定了传感器点的数量q； 因此，c 越小，最大团的大小就越大，反之亦然。 最大团问题等价于图 ${\mathcal{G}}_c$ 的补图 ${\mathcal{G}}_{\hat{c}}$ 的独立集问题，被称为 NP-hard 问题 [28,29]。 在本研究中，我们关注补图 ${\mathcal{G}}_{\hat{c}}$的独立集问题，并使用 DA2 对其进行求解。 求解它的伊辛哈密顿量H表示如下：
$$\mathcal{H}=-\Lambda 1\sum _{\psi \in {\mathcal{G}}_{\hat{c}}}{x}_{\psi }+\Lambda 2\sum _{(\psi ,\varphi )\in \Omega }{x}_{\psi }{x}_{\varphi }$$
Ω 表示${\mathcal{G}}_{\hat{c}}$ 的边集，x 是二进制位变量。 $x_{\psi }$ 的下标 $\psi$ 表示第 $\psi$ 个顶点。 我们分别为属于和不属于 ${\mathcal{G}}_{\hat{c}}$的顶点设置 $x_{\psi }=1$ 和 $x_{\psi }=0$。 常数 Λ1 和 Λ2 决定了每一项的权重。 这个方程等价于一个 QUBO 问题。 H 的第一项表示属于 ${\mathcal{G}}_{\hat{c}}$的顶点数。 另一方面，第二项表示选择边两端顶点的惩罚。 本研究通过在 Λ1 < Λ2、Λ1 = 1 和 Λ2 = 2 的条件下最小化 H，得到独立的补图集${\mathcal{G}}_{\hat{c}}$，进而得到 q 个最优传感器点作为图 ${\mathcal{G}}_c$的最大团 。 预计所提出的方法使我们能够比现有的贪婪方法提取更合适的传感器点，因为所提出的方法找到最佳传感器点集，而贪婪方法仅根据先前所做的选择而不是未来选择传感器点 选择（贪心法不重新考虑之前选择的点）如图1所示。

Conclusion

在这项研究中，作者提出了一种使用退火机解决高维系统最佳传感器放置问题的新方法。 传感器点被计算为图的最大团问题，其边权重由从数据中获得的适当的正交分解（POD）模式确定，因为高维系统通常具有低维表示。 由于最大团问题等价于补图的独立集问题，独立集问题使用二代富士通数字退火器（DA2）解决。

启发

1. 实质上是求解组合优化问题的算法