【无偏估计与Fisher信息矩阵】

给定线性模型 $y=\Phi x+w$，其中 $y$ 是观测向量，$\Phi$ 是设计矩阵，$x$ 是未知参数向量，$w$ 是误差向量。假设误差向量 $w$ 满足独立同分布的高斯分布，即 $w\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^{2}I)$，其中 ${\sigma }^2$ 是误差方差。

为了获得参数 $x$ 的无偏估计，我们可以使用最小二乘法。最小二乘法的目标是最小化观测值 $y$ 与模型预测值 $\hat{y}=\Phi \hat{x}$ 之间的差异。这可以通过最小化残差平方和来实现。

残差定义为 $r=y-\Phi \hat{x}$，其中 $\hat{x}$ 是参数向量的估计值。最小二乘法的目标是最小化残差平方和，即 $J(\hat{x})=|r{|}^2=|y-\Phi \hat{x}{|}^2$。

为了找到最小化 $J(\hat{x})$ 的解析解，我们可以对残差平方和进行求导并令导数等于零。

首先，我们对 $J(\hat{x})$ 进行展开：

$J(\hat{x})=(y-\Phi \hat{x}{)}^T(y-\Phi \hat{x})$

接下来，我们对 $J(\hat{x})$ 求导：

$\frac{\partial J(\hat{x})}{\partial \hat{x}}=-2{\Phi }^T(y-\Phi \hat{x})$

将导数等于零，得到：

$\frac{\partial J(\hat{x})}{\partial \hat{x}}=-2{\Phi }^T(y-\Phi \hat{x})=0$

将方程重新排列，得到正规方程：

${\Phi }^T\Phi \hat{x}={\Phi }^{T}y$

解这个线性方程组，我们可以得到参数向量 $\hat{x}$ 的无偏估计。

接下来，我们可以计算 Fisher 信息矩阵。根据最小二乘估计的性质，估计的协方差矩阵可以通过以下公式计算：

$Cov(\hat{x})={\sigma }^2({\Phi }^T\Phi {)}^{-1}$

其中，${\sigma }^2$ 是误差方差。

Fisher 信息矩阵是协方差矩阵的逆矩阵，因此可以得到：

$I(\hat{x})=({\Phi }^T\Phi {)}^{-1}$

这就是通过最小二乘估计得到的参数向量 $\hat{x}$ 的 Fisher 信息矩阵。

需要注意的是，上述推导中假设误差向量 $w$ 是满足独立同分布的高斯分布。如果误差具有其他分布或