算法设计与分析课程记录week3

最新推荐文章于 2025-05-02 15:12:23 发布

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分类专栏：算法设计与分析文章标签：算法

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算法设计与分析课程记录week3

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分治法

1 分治法概述

1.1 分治法的设计思想

对于一个规模为n的问题：若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决。
该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题。
利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解。
该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

2 求解排序问题

2.1 快速排序

基本思想：在待排序的n个元素中任取一个元素（通常取第一个元素）作为基准，把该元素放入最终位置后，整个数据序列被基准分割成两个子序列，所有小于基准的元素放置在前子序列中，所有大于基准的元素放置在后子序列中，并把基准排在这两个子序列的中间，这个过程称作划分。
然后对两个子序列分别重复上述过程，直至每个子序列内只有一个记录或空为止。
在这里插入图片描述

快速排序算法：

//划分算法
int Partition(int a[]，int s，int t)	
{   int i=s，j=t;
    int tmp=a[s];	//用序列的第1个记录作为基准
    while (i!=j)	//从序列两端交替向中间扫描，直至i=j为止     
    {   while (j>i && a[j]>=tmp) 
　　　　　　j--;    	//从右向左扫描，找第1个关键字小于tmp的a[j]
        a[i]=a[j];	//将a[j]前移到a[i]的位置
        while (i<j && a[i]<=tmp) 
　　　　　　i++;   	//从左向右扫描，找第1个关键字大于tmp的a[i]
        a[j]=a[i];	//将a[i]后移到a[j]的位置
　　}
　　a[i]=tmp;
　　return i;
}
//快速排序
void QuickSort(int a[]，int s，int t)	
//对a[s..t]元素序列进行递增排序
{  if (s<t) 			//序列内至少存在2个元素的情况
   {   int i=Partition(a，s，t);
       QuickSort(a，s，i-1);	//对左子序列递归排序
       QuickSort(a，i+1，t);	//对右子序列递归排序
   }
}

时间复杂度
当初始排序数据正序或反序时，此时的递归树高度为n，快速排序呈现最坏情况，即最坏情况下的时间复杂度为O(n²)；
当初始排序数据随机分布，使每次分成的两个子区间中的记录个数大致相等，此时的递归树高度为 $log_{2} n$ ，快速排序呈现最好情况，即最好情况下的时间复杂度为 $O(nlog_{2} n)$ 。快速排序算法的平均时间复杂度也是 $O(nlog_{2} n)$ 。

2.2 归并排序

归并排序的基本思想是：首先将a[0…n-1]看成是n个长度为1的有序表，将相邻的k（k≥2）个有序子表成对归并，得到n/k个长度为k的有序子表；然后再将这些有序子表继续归并，得到n/k2个长度为k2的有序子表，如此反复进行下去，最后得到一个长度为n的有序表。
若k=2，即归并在相邻的两个有序子表中进行的，称为二路归并排序。若k>2，即归并操作在相邻的多个有序子表中进行，则叫多路归并排序。
在这里插入图片描述

归并排序算法代码

void Merge(int a[]，int low，int mid，int high)
//a[low..mid]和a[mid+1..high]→a[low..high]
{  int *tmpa;
   int i=low，j=mid+1，k=0;
   tmpa=(int *)malloc((high-low+1)*sizeof(int));
   while (i<=mid && j<=high)
     if (a[i]<=a[j])		//将第1子表中的元素放入tmpa中
　　　{  tmpa[k]=a[i];  i++; k++; }
　　　else			//将第2子表中的元素放入tmpa中
　　　{  tmpa[k]=a[j];　j++; k++; }
   while (i<=mid)		//将第1子表余下部分复制到tmpa
   {  tmpa[k]=a[i]; i++; k++; }
   while (j<=high)		//将第2子表余下部分复制到tmpa
   {  tmpa[k]=a[j]; j++; k++; }
   for (k=0，i=low;i<=high;k++，i++)  //将tmpa复制回a中
　　  a[i]=tmpa[k];
   free(tmpa);			//释放tmpa所占内存空间
}

void MergePass(int a[]，int length，int n)
//一趟二路归并排序
{  int i;
   for (i=0;i+2*length-1<n;i=i+2*length)   //归并length长的两相邻子表
　　　　Merge(a，i，i+length-1，i+2*length-1);
   if (i+length-1<n)	     		 //余下两个子表，后者长度小于length
　　　  Merge(a，i，i+length-1，n-1);	 //归并这两个子表
}
//二路归并算法
void MergeSort(int a[]，int n)	
{  int length;
   for (length=1;length<n;length=2*length)
　　　　MergePass(a，length，n);
}