[BZOJ 2186][Sdoi2008]沙拉公主的困惑：欧拉函数

最新推荐文章于 2019-09-10 19:10:28 发布

BrooksBUAA

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分类专栏： BZOJ 欧拉函数

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欧拉函数

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本文介绍了一种高效计算φ(m!)的方法，其中φ为欧拉函数，并给出了递推逆元的实现及证明。通过预处理，可以在较大范围内快速计算出n!/m! * φ(m!) % r的值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

点击这里查看原题

首先可以得到结果为phi(m!) * (n!/m!)%r，那么难点在于phi(m!)如何求。
因为phi(m!)=m! * (p-1)/p，p为小于m!的质数，所以可以用一个数组ans[i]表示phi(m!)/m!的结果，ans[i]=ans[i-1]，如果i为质数，那么ans[i]=ans[i] * (i-1) * inv[i]%r。

另附上递推逆元的证明（以前只会写不会证） By 黄学长
设r=ai+b，求inv[i]
因为-ai=b(mod r)，等式两边同除ib，得到
-a/b=1/i(mod r)
于是得到inv[i]=-a * inv[b]
即inv[i]=r-r/i * inv[r%i]%r

/*
User:Small
Language:C++
Problem No.:2186
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 999999999
using namespace std;
const int M=1e7+5;
int r,fac[M],ans[M],inv[M],prime[700005],cnt;
bool not_prime[M];
void pre(){
    fac[1]=ans[1]=inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=1e7;i++){
        if(!not_prime[i]){
            prime[++cnt]=i;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=1e7;j++){
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
    for(int i=2;i<=1e7;i++){
        if(i<r) inv[i]=(ll)(r-r/i)*inv[r%i]%r;
        fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%r;
        ans[i]=ans[i-1];
        if(!not_prime[i]) ans[i]=(ll)ans[i]*(i-1)%r*inv[i%r]%r;
    }
}
int main(){
    freopen("data.in","r",stdin);//
    int t;
    scanf("%d%d",&t,&r);
    pre();
    while(t--){
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%d\n",(ll)fac[n]*ans[m]%r);
    }
    return 0;
}