二维完全背包

博客探讨了二维完全背包问题在游戏场景的应用,通过将忍耐度视为背包容量,经验值视为价值,来解决如何在有限忍耐度和怪物数量限制下最大化经验值获取,以达成等级提升的目标。文章提供了状态转移方程的详细解释。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

题目:hdu2159

题意:xhd升掉最后一级还需n的经验值,xhd还留有m的忍耐度,每杀一个怪xhd会得到相应的经验,并减掉相应的忍耐度。当忍耐度降到0或者0以下时,xhd就不会玩这游戏。xhd还说了他最多只杀s只怪。请问他能升掉这最后一级吗。

解答:把忍耐度看成容量,经验值看成是价值。由于限制了放入物品的个数,所以这是一个二维的完全背包问题。dp[j][w]表示用了j的忍耐值、杀了w个怪的条件下得到的经验值。状态转移方程:dp[j][w] = max(dp[j][w],dp[j-monster[i].weight][k-1]+monster[i].value]

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int MAXN = 110;
const int INF = 1 << 30;
struct Monster
{
    int weight,value;
};
Monster monster[MAXN];
int dp[MAXN][MAXN];
int main()
{
    int n,m,k,s;
    while(~scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&s))
    {
        int ans = INF;
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i = 1;i <= k;i++)
            scanf("%d%d",&monster[i].value,&monster[i].weight);
        for(int i = 1;i <= k;i++)
            for(int j = monster[i].weight;j <= m;j++)
            for(int w = 1;w <= s;w++)
        {
            dp[j][w] = max(dp[j][w],dp[j-monster[i].weight][w-1]+monster[i].value);
            if(j < ans && dp[j][w] >= n)
            {
                ans = j;
                break;
            }
        }
        if(ans == INF)
            printf("-1\n");
        else
            printf("%d\n",m - ans);
    }
    return 0;
}


 

### C++ 实现完全背包问题的二维数组方法 在解决完全背包问题时,可以利用动态规划的思想来构建解决方案。对于完全背包问题,通常会定义一个二维数组 `dp[i][j]` 表示从前 `i` 个物品中选取若干件放入容量为 `j` 的背包所能获得的最大价值[^3]。 以下是基于 C++ 编写的完全背包问题的二维数组实现代码: ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; int main() { int N, V; // 物品数量N 和 背包总容量V cin >> N >> V; vector<int> weight(N + 1); // 存储每个物品的重量 vector<int> value(N + 1); // 存储每个物品的价值 for (int i = 1; i <= N; ++i) { // 输入物品的重量和价值 cin >> weight[i] >> value[i]; } // 创建二维 DP 数组 vector<vector<int>> dp(N + 1, vector<int>(V + 1, 0)); // 动态转移方程 for (int i = 1; i <= N; ++i) { for (int j = 0; j <= V; ++j) { if (j >= weight[i]) { // 如果当前背包容量能放下第i个物品 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]); } else { dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 当前背包无法放置该物品 } } } cout << "最大价值:" << dp[N][V] << endl; // 输出最终结果 return 0; } ``` #### 解析 上述代码的核心逻辑在于通过两层嵌套循环完成状态转移: - 外层循环遍历每一个物品 `i`。 - 内层循环遍历背包容量 `j`,并判断是否能够加入当前物品以获取更大的价值。 - 对于每种情况,取两种决策中的较大者:要么不放当前物品 (`dp[i-1][j]`);要么放入当前物品 (`dp[i][j-weight[i]] + value[i]`)。 此方法的时间复杂度为 O(N*V),空间复杂度同样为 O(N*V)[^3]。 ---
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