NYOJ 题目42 一笔画问题 (欧拉连通图+并查集)



http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=42

一笔画问题

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难度： 4

描述

zyc从小就比较喜欢玩一些小游戏，其中就包括画一笔画，他想请你帮他写一个程序，判断一个图是否能够用一笔画下来。

规定，所有的边都只能画一次，不能重复画。

输入

第一行只有一个正整数N(N<=10)表示测试数据的组数。
每组测试数据的第一行有两个正整数P,Q(P<=1000,Q<=2000)，分别表示这个画中有多少个顶点和多少条连线。（点的编号从1到P）
随后的Q行，每行有两个正整数A,B(0<A,B<P)，表示编号为A和B的两点之间有连线。

输出

如果存在符合条件的连线，则输出"Yes",
如果不存在符合条件的连线，输出"No"。

样例输入

2 4 3 1 2 1 3 1 4 4 5 1 2 2 3 1 3 1 4 3 4

样例输出

No Yes

本题用到欧拉连通图和并查集。

先看概念：

两点连通：无向图G中两点u,v称为连通，当且仅当存在由u到v的路径。

无向图G连通：无向图G连通，当且仅当G中不同节点两两连通，即每对不同的节点u,v之间存在一条路径。(摘自《数据结构基础》,作者:Sartaj Sahni)

点的度：与点相连的线有n条，就说这个点的度为n，如果n为偶数，就说这个点为偶度点，如果n为奇数，就说这个点为奇度点。

对于一笔画问题，有两个判断的准则，它们都由欧拉提出并证明^[1]。

定理一

1.连通的无向图 有欧拉路径的充要条件是：中奇顶点（连接的边数量为奇数的顶点（也就是奇度点））的数目等于0或者2。

2.连通的无向图 是欧拉环（存在欧拉回路）的充要条件是：中每个顶点的度都是偶数。

定理二

如果连通无向图 有 个奇顶点，那么它可以用 笔画成，并且至少要用 笔画成。

（来自维基百科：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E7%AC%94%E7%94%BB%E9%97%AE%E9%A2%98）

本题我们只要用到定理一的1.

我们只要1:判断图是否连通。2:判断奇度点的个数

1:判断图是否连通，通过并查集先合并，然后查找所有的元素是否有只一个根(只有一个集合)

下面是我的代码

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int set[100000],degree[100000]/*点的度*/;
int Find(int x)
{
	int r=x,i=x,j;
	while(set[r]!=r)
	r=set[r];
	
	while(i!=r)//压缩路径。把x到r之间的数指向根节点 
	{
		j=set[i];
		set[i]=r;
		i=j;
	}
	return r;
}
void merge(int x,int y)
{
	x=Find(x);
	y=Find(y);
	if(y<x)
	set[x]=y;
	if(x<y)
	set[y]=x;
}
int main()
{
	int T,E,V,i,j,k,x,y,sum,S;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		memset(set,0,sizeof(set));
		memset(degree,0,sizeof(degree));
		scanf("%d %d",&E,&V);
		for(i=1;i<=E;i++)
		set[i]=i;
		for(i=1;i<=V;i++)
		{
			scanf("%d %d",&x,&y);
			degree[x]+=1;//点x的度数加一 
			degree[y]+=1;//点y的度数加一 
			merge(x,y);
		}
		for(i=1,sum=0;i<=E;i++)
		if(i==set[i]) 
        sum+=1;
		
		for(i=1,S=0;i<=E;i++)
		if(degree[i]%2!=0)
		S+=1;
		
		if(sum==1&&(S==0||S==2))
		printf("Yes\n");
		else
		printf("No\n");
	}
	return 0;
}