[2018.11.03 T3] 单调序列

本文探讨了在可选择翻转区间的情况下,求序列的最长不下降子序列问题。通过动态规划方法,维护不同状态的最长长度,实现高效求解。

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单调序列

GISPZJZ 有一个长度为 nnn 的序列a1,a2,…,ana_1,a_2,…,a_na1,a2,,an。序列的所有元素都是 111 或者222

我们称一序列是该序列的不下降子序列p1,p2,…,pkp_1,p_2,…,p_kp1,p2,,pk,满足 1≤p1&lt;p2&lt;p3&lt;…&lt;pk≤n1≤p_1&lt;p_2&lt;p_3&lt;…&lt;p_k≤n1p1<p2<p3<<pkn,且 ap1≤ap2≤…≤apna_{p_1}≤a_{p_2}≤…≤a_{p_n}ap1ap2apn

现在 GISPZJZ 可以选择序列中的一段区间[L,R][L,R][L,R],然后将整段反转,例如挑选区间[2,4][2,4][2,4], 可以将序列(a1,a2,a3,a4,a5)(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)(a1,a2,a3,a4,a5)变换为(a1,a4,a3,a2,a5)(a_1,a_4,a_3,a_2,a_5)(a1,a4,a3,a2,a5)。在此基础上,GISPZJZ 希望在反转 后,序列的最长不下降子序列最长。当然,GISPZJZ 也可以选择不反转任何区间。现在要求求出最优情况下,序列的最长不下降子序列的长度。

输入:

第一行一个正整数 nnn

第二行 nnn 个数,分别为 a1,a2,…,ana_1,a_2,…,a_na1,a2,,an,满足 1≤ai≤21≤a_i≤21ai2

输出:

一行一个正整数 xxx,表示答案。

样例输入:

6
1 2 2 1 2 1

样例输出:

5

样例说明:

选择区间为[2,4][2,4][2,4],翻转后的序列为(1,1,2,2,2,1)(1,1,2,2,2,1)(1,1,2,2,2,1),最长不下降子序列为 a1,a2,a3,a4,a5a_1,a_2,a_3,a_4,a_5a1,a2,a3,a4,a5, 长度为 555

数据范围:

对于 10%10\%10%的数据,1≤n≤101≤n≤101n10

对于 40%40\%40%的数据,1≤n≤2001≤n≤2001n200

对于 70%70\%70%的数据,1≤n≤20001≤n≤20001n2000

对于 100%100\%100%的数据,1≤n≤1000001≤n≤1000001n100000

题解

如果不能翻转的话,求的就是最长的一段111加上一段222;如果能翻转的话,一段111,一段222,一段111也可以成为答案;一段111,一段222,一段111,一段222同理,我们维护一下这四种情况的最长长度即可。

代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1e5+5;
int que[M],dp[M][4],n,ans;
void in(){scanf("%d",&n);}
void ac()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",que+i);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		dp[i][0]=dp[i-1][0]+(que[i]==1);
		dp[i][1]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1])+(que[i]==2);
		dp[i][2]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][2])+(que[i]==1);
		dp[i][3]=max(dp[i-1][2],dp[i-1][3])+(que[i]==2);
		ans=max(max(dp[i][0],dp[i][1]),max(dp[i][2],dp[i][3]));
	}
	printf("%d\n",ans);
}
int main(){in(),ac();}
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