[2018.11.03 T2] 执行任务

最新推荐文章于 2025-06-10 12:19:00 发布

ShadyPi

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分类专栏：数论&数学

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本文探讨了组合数学在算法竞赛中的一项具体问题——如何计算从n个成员中选择至少m个人执行任务的不同方案数量。通过数学公式推导，给出了求解该问题的有效算法，并提供了C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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执行任务

有一支部队，由 $n$ 个成员组成，编号分别为 $1, 2, \dots, n$ 。现在要求选出若干人去执行一项任务，由于任务很艰巨，现在要求选出的人数不少于 $m$ 。

现在要求你求出有多少种选人的方案。

输入：

一行两个正整数 $n ， m$ 。

输出：

一行一个正整数 $x$ ，表示答案。由于答案可能很大，输出答案对 $1000000007$ 取模的结果。

样例输入：

6 3

样例输出：

数据范围：

对于 $20%20\%$ 的数据， $1 \leq m \leq n \leq 20$ 。

对于 $40%40\%$ 的数据, $1 \leq m \leq n \leq 1000$ 。

对于 $60%60\%$ 的数据， $1 \leq m \leq n \leq 100000$ 。

对于额外 $10%10\%$ 的数据， $m = 1, 1 \leq n \leq 1000000000$ 。

对于 $100%100\%$ 的数据， $m \leq n, 1 \leq m \leq 100000, 1 \leq n \leq 1000000000$ 。

题解

数学题：
$\begin{aligned} &\sum_{i=m}^n\binom{n}{i}\\ =&\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}-\sum_{i=1}^{m-1}\binom{n}{i}\\ =&2^n-1-\sum_{i=1}^{m-1}\binom{n}{i} \end{aligned}$
因为 $(ni)=n×(n−1)×⋯×(n−i+1)1×2×⋯×i\binom{n}{i}=\frac{n\times(n-1)\times\cdots\times(n-i+1)}{1\times 2\times\cdots\times i}$ ，意思就是说分号上面和下面的项数不会超过 $m$ 项，是可以预处理的，此题完结。。。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=1e5+5,mod=1e9+7;
ll fac[M],inv[M],sum;
int n,m;
ll power(ll x,ll p){ll r=1;for(;p;p>>=1,x=x*x%mod)if(p&1)r=r*x%mod;return r;}
ll C(int n,int m){return fac[m]*inv[m]%mod;}
void in(){scanf("%d%d",&n,&m);}
void ac()
{
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=m;++i)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[m]=power(fac[m],mod-2);
	for(int i=m-1;i>=0;--i)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
	fac[1]=n;for(int i=2;i<=m;++i)fac[i]=fac[i-1]*(n-i+1)%mod;
	for(int i=1;i<m;++i)(sum+=C(n,i))%=mod;
	printf("%lld",(power(2,n)-1-sum+mod)%mod);
}
int main(){in(),ac();}