[2018.07.12 T2] B君的第二题

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B君的第二题

【问题描述】

申生在内而亡，重耳在外而安

考虑$k + 1$个数组$a[i] (0 ≤ i ≤ k)$。

为了方便起见，每个数组$a[i]$长度为$n$，下标从$1$开始。（直观来说就是第一维下标从$0$开始，第二维下标从1开始。）

其中$a[i]$时时刻刻是$a[i-1] (1 ≤ i ≤ k)$的前缀和。

前缀和就是$a[i][1] = a[i-1][1]$且$a[i][j] = a[i][j-1]+a[i-1][j] (j ≥ 2)$。

比如$a[0] = {1, 0, 0, 0}$，那么$a[1] = {1, 1, 1, 1}, a[2] = {1, 2, 3, 4}, a[3]= {1, 3, 6, 10}$此时如果我们修改$a[0][3] += 1$，得到新的$a[i]$。

$a[0] = {1, 0, 1, 0}, a[1] = {1, 1, 2, 2}, a[2] = {1, 2, 4, 6}, a[3] = {1, 3, 7, 13}$。

你需要支持$2$个操作。

修改操作：输入$x, y$，执行$a[0][x] += y$。

询问操作：输入$x$，返回$a[k][x]$的值。

由于结果可能很大，你只需要输出询问的值对$1000000007$取模的结果。

【输入格式】

第一行三个整数$n, m, k$，分别表示数组长度，操作次数，前缀和次数。

接下来$m$行，每行一个操作。

如果第一个数字是$0$，接下来会有$2$个数字$x, y$表示修改，$a[0][x] += y$。

如果第一个数字是$1$，接下来会有$1$个数字$x$表示询问$a[k][x]$。

【输出格式】

对于每个询问操作，输出询问的值对$1000000007$取模的结果。

【输入样例】

4 11 3
0 1 1
0 3 1
1 1
1 2
1 3
1 4
0 3 1
1 1
1 2
1 3
1 4

【输出样例】

1
3
7
13
1
3
8
16

【数据范围】

对于$100\%$的数据，满足$1 ≤ n ≤ 100000, 1 ≤ m ≤ 100000, 1 ≤ k ≤ 10$。

对于$100\%$的数据，满足$1 ≤ x ≤ n, 0 ≤ y < 1000000007$。

对于$30\%$的数据，满足$1 ≤ n, m ≤ 1000$。

对于另$40\%$的数据，满足$1 ≤ k ≤ 2$。

数据非常有梯度。

题解

感谢毕克不杀之恩。

终于有一道我不止会暴力的题，感觉能拿$70$分，一个小时写完，跟暴力拍了几组大样例，感觉稳了啊，如果不是有个地方没取膜的话。。。

最后只有$50$分，因为少取了一次膜，跪了$20$分，跟暴力分+$k=1$得分一样，$mmp$。

虽然$70$分很好得，但是要$A$掉这道题，还是需要一些骚操作，考虑求前缀和四次的式子：

$$\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^j\sum_{p=1}^ka[0][p]$$

每当出现一个合法的$i,j,k,p$的组合，即满足$1\le p\le k\le j\le i\le x$时，$a[0][p]$就会被计算一次。不等式又可以表示为$1<p+1<k+2<j+3<i+4<x+5$，那么一个合法的$i,j,k,p$组合就相当于在$(p+1,x+5)$中选择$3$个数，等于$\binom{x+3-p}{3}$，当我们枚举$p$时，就有下面的式子：

$$\sum_{p=1}^x\binom{x+3-p}{3}a[0][p]$$

推广到$k$次：

$$\sum_{p=1}^x\binom{x+k-1-p}{k-1}a[0][p]$$

目前为止，我们就得到了一个$O(nm)$的做法，还需要一波丧心病狂精妙绝伦的化简。

考虑公式如下：

$$\binom{x+k-1-p}{k-1}=\sum_{i=0}^{k-1}\binom{x}{i}\binom{k-1-p}{k-1-i}$$

组合意义是讲$x+k-1-p$分为$x,k-1-p$两部分，再枚举从$x$那部分选出$i$个数的方案，与从$k-1-p$个数中选$k-1-i$个数的方案相乘。

代入原式：

$$\sum_{p=1}^x\binom{x+k-1-p}{k-1}a[0][p]=\sum_{p=1}^x\sum_{i=0}^{k-1}\binom{x}{i}\binom{k-1-p}{k-1-i}a[0][p]$$

此时$\sum_{i=0}^{k-1}\binom{x}{i}$已经跟$p$无关了，我们把枚举$p$的部分放到后面去：

$$\sum_{i=0}^{k-1}\binom{x}{i}[\sum_{p=1}^{x}\binom{k-1-p}{k-1-i}a[0][p]]$$

后面方括号框住的部分是一个前缀和的形式，而$k-1-i$的取值只有$k$个，所以我们直接上$k$个数据结构维护就好了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=8e5,mod=1e9+7;
int n,m,k,inv[M],base=1;
ll sum[18][M];
void in(){scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);}
void build(){while(base<n)base<<=1;}
void add(int id,int x,int y){x+=base;for(;x;x>>=1)sum[id][x]=(sum[id][x]+y)%mod;}
int ask(int id,int ri)
{
    int le=base,ans=0;ri+=base+1;
    for(;le^ri^1;le>>=1,ri>>=1) {if(le&1^1)ans=(ans+sum[id][le+1])%mod;if(ri&1)ans=(ans+sum[id][ri-1])%mod;}
    return ans;
}
void ac()
{
    build();int op,x,y;ll ans,C;
    --k;inv[1]=1;for(int i=2;i<=n+n;++i)inv[i]=1ll*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d",&op,&x);
        if(op){ans=0,C=1;for(int j=0;j<=k;++j)ans=(ans+C*ask(k-j,x))%mod,C=C*(x-j)%mod*inv[j+1]%mod;printf("%lld\n",ans);}
        else{scanf("%d",&y);C=1;for(int j=0;j<=k;++j){add(j,x,1ll*y*C%mod);C=C*(k-x-j)%mod*inv[j+1]%mod;if(C<0)C+=mod;}}
    }
}
int main(){in();ac();}