[2018.03.14 T1] 矩阵(matrix)

团队题库链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/T24294

矩阵(matrix)

【题目描述】

给出一个 n × m 的矩阵。让你从中发现一个最大的正方形。使得这样子的正方形在矩阵 中出现了至少两次。输出最大正方形的边长。

【输入】

第一行两个整数 n, m 代表矩阵的长和宽；

接下来 n 行，每行 m 个字符（小写字母） ，表示矩阵。

【输出】

输出一个整数表示满足条件的最大正方形的边长。

【输入样例】

5 10
ljkfghdfas
isdfjksiye
pgljkijlgp
eyisdafdsi
lnpglkfkjl

【输出样例】

3

【提示】

【数据规模】

对于 30%的数据，n,m≤100；

对于 100%的数据，n,m≤500。

题解

对每个点进行哈希，每个点都赋一个哈希值再乘以那个点的字符。之后再求一波前缀和就能方便地计算出单个正方形的哈希值之和。

完成上述预处理之后，我们二分正方形边长，$O(n^{2})$枚举左上角，计算每个正方形的哈希值，在哈希表里查找，如果存在哈希值，那么就找到了两个一样的正方形；否则，将该哈希值存入表中,整体复杂度$O(n^{2}log_{2}n)$，期望得分100。

关于哈希的具体方法，我们构造一个累乘数列（即$n,n^{2},n^{3}...$），对于每个点，都能在数列中找到对应的$key$值，这里自然溢出是不用考虑的，因为不管如何，它都保持了累乘的性质，在后面再次使用的时候，累乘出来是一样的。

最后，在枚举矩形时，因为每个矩形的左上角不同，所以即使两个正方形相同，正方形的前缀和求出来也是不同的，这时我们就要利用$Key$值的累乘性质，将得出来的前缀和乘上某个$Key$值，将左上角的$Key$值调整为整个矩阵右下角的$Key$值（等同于将正方形平移到左上角与矩阵右下角对齐），这样，两个相同矩阵的前缀和就相同了，然后就可以存入哈希表。

最后注意一下下标的计算，因为$hash$值可能为负，所以不能简单的取模。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=505;
const int mod=1000003;
int n,m;
char sq[M][M];
vector<unsigned long long>hash[mod+5];
unsigned long long key[M*M],h[M][M];
void in()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    scanf("%s",sq[i]+1);
}
void geth()
{
    key[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=m;++j)
    {
        h[i][j]=h[i][j-1]+key[(i-1)*m+j-1]*(sq[i][j]-'a');
        key[(i-1)*m+j]=key[(i-1)*m+j-1]*19260817;
    }
    for(int j=1;j<=m;++j)
    for(int i=1;i<=n;++i)
    h[i][j]+=h[i-1][j];
}
void reset()
{
    for(int i=0;i<=mod;++i)
    hash[i].clear();
}
bool find(unsigned long long x)
{
    int kk=(x%mod+mod)%mod;
    for(int i=hash[kk].size()-1;i>=0;--i)
    if(hash[kk][i]==x)return 1;
    return 0;
}
void ins(unsigned long long x)
{
    int kk=(x%mod+mod)%mod;
    for(int i=hash[kk].size()-1;i>=0;--i)
    if(hash[kk][i]==x)return;
    hash[kk].push_back(x);
}
bool solve(int mid)
{
    reset();
    int x=1,y=1;
    unsigned long long val;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=m;++j)
    {
        x=i+mid-1;y=j+mid-1;
        if(1<=x&&x<=n&&1<=y&&y<=m)
        {
            val=h[i-1][j-1]+h[x][y]-h[x][j-1]-h[i-1][y];
            val*=key[(n-i)*m+m-j];
            if(find(val))return 1;
            else ins(val);
        }
    }
    return 0;
}
void ac()
{
    int le=0,ri=min(n,m),mid,ans=0;
    if(n==m)ri--;
    while(le<=ri)
    {
        mid=(le+ri)>>1;
        if(solve(mid))
        ans=mid,le=mid+1;
        else ri=mid-1;
    }
    printf("%d",ans);
}
int main()
{
    in();geth();ac();
    return 0;
}