Luogu1880 石子合并

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1880

石子合并

题目描述

在一个圆形操场的四周摆放 $N$ 堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。

试设计出一个算法,计算出将 $N$ 堆石子合并成 $1$ 堆的最小得分和最大得分。

输入格式

数据的第 $1$ 行是正整数 $N$，表示有 $N$ 堆石子。

第 $2$ 行有 $N$ 个整数，第 $i$ 个整数 $a_i$表示第 $i$ 堆石子的个数。

输出格式

输出共 $2$ 行，第 $1$ 行为最小得分，第 $2$ 行为最大得分。

输入输出样例

输入 #1

4
4 5 9 4

输出 #1

43
54

说明/提示

$1\le N\le 100$，$0\le a_i\le 20$。

题解

退役咸鱼含泪复习区间$dp$……

显然，对于一个区间$[l,r]$，它合并结果的最优解肯定来源于它某两个相邻子区间$[l,m],[m+1,r](l\le m<r)$的合并最优解，因为对于$[l,r]$来说，合并两个相邻子区间产生的贡献是一定的，等于区间$[l,r]$中石子的总个数，要使$[l,r]$为最优解，只能使这两个子区间为最优解。

所以，我们用$dp[l][r]$来表示合并区间$[l,r]$中所有石子能得到的最大得分，转移时枚举分界点$m$，就能得到一个转移方程：
$$dp[l][r]=max(dp[l][r],dp[l][m]+dp[m+1][r]+val[l][r])$$
$(l\le m<r,val[l][r]$为区间$[l,r]$中的所有石子个数之和$)$

但是具体的代码实现不能采用枚举$l$、枚举$r$再枚举$m$的做法，因为$l$固定时，以$m$为左端点的区间的$dp$值我们并不知道，没法进行转移。因此我们只能从小到大枚举区间长度，当求出较小区间的$dp$值后再合并更新较大的区间。

另外，因为此题中石子排列成了一个环，所以我们需要枚举环断开的地方，每次都做一次$dp$取最大/小值。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=105;
int n,ansx,ansn=1e7;
int dpx[M][M],dpn[M][M],val[M][M],sto[M<<1];
void in()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&sto[i]),sto[i+n]=sto[i];
}
void dp(int s)
{
	memset(dpx,0,sizeof(dpx));
	memset(dpn,127,sizeof(dpn));
	for(int i=1;i<=n;++i)dpx[i][i]=dpn[i][i]=val[i][i]=sto[i+s];
	for(int i=1;i<n;++i)for(int j=n-i;j>=1;--j)
	{
		val[j][j+i]=val[j][j]+val[j+1][j+i];
		for(int k=0;k<i;++k)
		dpx[j][j+i]=max(dpx[j][j+i],dpx[j][j+k]+dpx[j+k+1][j+i]+val[j][j+i]),
		dpn[j][j+i]=min(dpn[j][j+i],dpn[j][j+k]+dpn[j+k+1][j+i]+val[j][j+i]);
	}
	ansx=max(ansx,dpx[1][n]);
	ansn=min(ansn,dpn[1][n]);
}
void ac()
{
	for(int i=0;i<n;++i)dp(i);
	printf("%d\n%d",ansn-val[1][n],ansx-val[1][n]);
}
int main(){in(),ac();}