线段树合并的思想和应用（末尾附一些习题）

本文详细介绍了线段树动态开点的概念、思想及应用，对比两种不同的合并方法，适用于空间复杂度要求高的场景。并通过习题加深理解。

讲前须知：线段树动态开点

1.概念

线段树合并，一般来说是与线段树动态开点一起用的，它的作用将两棵线段树所统计的信息整合到一棵线段树上。（由于多棵线段树会导致空间复杂度极高，所以线段树合并一般会与动态开点一起使用）

2.思想

我们在合并线段树的时候，肯定不可能一个点一个点的合并，那么我们就需要将一些无用的合并操作去掉。由于我们是动态开点，那么无用的操作指的就是，两棵线段树中有一棵未开辟的节点（或两棵都未开辟），那么直接返回已经开辟了的那一棵就可以了。代码：

int merge(int u , int v)
{
	if (!u || !v)
	{
		return u + v;
	}
	int t = ++tot;//重新开点记录当前两棵树的信息
	sum[t] = sum[u] + sum[v]//根据题意，这里可以有不同的写法，有时还可能记录某些答案
	ls[t] = merge(ls[u] , ls[v]);
	rs[t] = merge(rs[u] , rs[v]);//递归处理左右子树
	return t;
}

上面这种写法适用于大多数情况，但它对于所有两棵子树共同的节点都开了一个新节点。所以当空间限制极为苛刻的时候，这种写法不一定适用。另一种写法：

void merge(int &u , int v)
{
	if (!u || !v)
	{
		u += v;
		return;
	}
	sum[u] += sum[v];
	merge(ls[u] , ls[v]);
	merge(rs[u] , rs[v]);
}

这种写法的优势是：不用重新开点，直接将u和v的信息全部合并到u上。但也因为这一点，u所保存的信息将被破坏掉，即最后无法保存合并前的某一棵线段树。所以，这种写法一般都用在树上，父亲节点合并子节点信息时。（还有，我有一次打比赛时这样写爆零了，之后怎么查都查不出来错，所以，在空间足够的情况下，建议使用前一种写法。当然，如果是我模板写的有问题，还望雅正）