300. Longest Increasing Subsequence

最新推荐文章于 2024-09-11 15:54:46 发布

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#binary search #DP

本文介绍了解决寻找最长上升子序列问题的两种算法：经典动态规划方法和二分搜索优化法。通过详细解释每种方法的原理和步骤，帮助读者理解和实现这些高效的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Problem

Given an unsorted array of integers, find the length of longest increasing subsequence.

For example,
Given [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18],
The longest increasing subsequence is [2, 3, 7, 101], therefore the length is 4. Note that there may be more than one LIS combination, it is only necessary for you to return the length.

Your algorithm should run in O(n2) complexity.

Follow up: Could you improve it to O(n log n) time complexity?

Credits:
Special thanks to @pbrother for adding this problem and creating all test cases.

Solution 1

很经典的DP问题，用dp[i]来表示以nums[i]为结尾的最长子序列，那么

1. 当nums[i] 比前面任意一个数nums [ j ] ( j 的范围 [ 0 , i - 1 ] ）都大时，dp[ i ] = 1;

2. 否则，就是存在某个数 nums[ j ] < nums[ i ], dp[ i ] 就有可能是dp [ j ] 的长度再加上 1 ,就是 nums[i] 自己， dp[ i ] = max ( dp[ j ] + 1 ) , j : [ 0 , i -1 ] inclusive;

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        if(nums.empty()) return 0;
        
        const int N = nums.size();
        
        vector<int> dp(N , 1);
        int rst = 1;
        for( int i = 1; i < N; i++){
            for( int j = 0; j < i; j++){
                if(nums[i] > nums[j]){
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            rst = max(rst, dp[i]);
        }
        return rst;
        
        //return dp[N-1]; <span style="color:#ff0000;">buggy 结果应该是dp [0, N-1] 的最大值，所以上面用了变量rst 来纪录。</span>
    }
};

Solution 2

还可以用用binary search 解决。

关键是要想到用一个数组 tails 来记录一个最长递增子序列，这样从头遍历数组nums时，

1. 如果 num > tails.back(), 把 num 扔到 tails尾巴就好

2. 否则，就要从tails 里找到第一个比num大的数（这里用二分查找实现，就是 findFirstBiggerN () 做的事），然后用 num 取代刚才找到的数

最后 tails 的长度，就是要找的结果。

step 1. 很好理解；

step 2. 就是尽量把每个数都最优的 fit 到tails 里，让tails里面的数尽可能的小，才能找到最长递增子序列。

class Solution {
    int findFirstBiggerN( const vector<int>& nums, int n){
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while( left <= right ){
            int mid = (left + right) / 2;
            if(nums[mid] == n) return mid;
            if( nums[mid] > n) {
                right = mid - 1;
            }
            else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
         vector<int> tails;
         
         for( int num : nums){
             if(tails.empty() ||num > tails.back()) {
                 tails.push_back(num);
             }
             else{
                 int idx = findFirstBiggerN(tails, num);
                 tails[idx] = num ;
             }
         }
         return tails.size();
    }
};