幂级数 | 函数项级数、函数展开成幂级数（泰勒展开+麦克劳林展开）

级数收敛：如果级数${\sum }_{i=1}^{\infty }{u}_i$的部分和数列{sn}\{s_n\}{sn​}有极限s，即
$$li{m}_{n\to \infty }{s}_n=s$$
那么称无穷级数${\sum }_{i=1}^{\infty }{u}_i$收敛，这时极限是叫做这级数的和，并写出
$$s=u_1+u_2+\cdot \cdot \cdot +u_i+\cdot \cdot \cdot ；$$
如果$s_n$没有极限，那么称无穷级数${\sum }_{i=1}^{\infty }{u}_i$发散。

1、函数项级数的概念

如果给定一个定义在区间I上的函数列
$$u_1(x),u_2(x),u_3(x),\cdot \cdot \cdot ,u_n(x),\cdot \cdot \cdot$$
那么由这函数列构成的表达式
$$u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+\cdot \cdot \cdot +u_n(x)+\cdot \cdot \cdot \text{\hspace{1em}(1)}$$
称为定义在区间I上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

对于每一个确定的值$x_0\in I$，函数项级数（1）成为常数项级数
$$u_1(x_0)+u_2(x_0)+u_3(x_0)+\cdot \cdot \cdot +u_n(x_0)+\cdot \cdot \cdot \text{\hspace{1em}(2)}$$
这个级数（2）可能收敛也可能发散。如果级数（2）收敛，就称点$x_0$是函数项级数（1）的收敛点；如果级数（2）发散，就称点$x_0$是函数项级数（1）的发散点。函数项级数（1）的收敛点的全体称为它的收敛域，发散点的全体称为它的发散域。

对应于收敛域内的任意一个数x，函数项级数称为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s。这样，在收敛域上，函数项级数的和是x的函数$s(x)$，通常称$s(x)$为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成
$$s(x)=u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+\cdot \cdot \cdot +u_n(x)+\cdot \cdot \cdot$$
把函数项级数（1）的前n项的部分和记作$s_n(x)$，则在收敛域上有
$$li{m}_{n\to \infty }{s}_n(x)=s(x)$$
记$r_n(x)=s(x)-s_n(x)$，$r_n(x)$叫做函数项级数的余项（当然，只有x在收敛域上$r_n(x)$才有意义），并有
$$li{m}_{n\to \infty }{r}_n(x)=0$$

2、幂级数的定义

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是常数乘幂函数的函数项级数，即所谓幂级数，它的形式是
$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdot \cdot \cdot +a_n{x}^n+\cdot \cdot \cdot ，$$
其中常数$a_0,a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ，a_n,\cdot \cdot \cdot$叫做幂级数的系数。

性质1：幂级数${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$的和函数$s(x)$在其收敛域I上连续。

性质2：幂级数${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$的和函数$s(x)$在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式
$${\int }_0^{x}s(t)dt={\int }_0^x[\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{t}^n]dt=\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_0^x{a}_n{t}^{n}dt=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}(x\in I)$$
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

性质3：幂级数${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$和和函数$s(x)$在其收敛区间$(-R,R)$内可导，且有逐项求导公式
$$s^{\prime }(x)=(\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n)’=\sum _{n=0}^{\infty }(a_n{x}^n{)}^{\prime }=\sum _{n=1}^{x}n{a}_n{x}^{n-1}(|x|<R)$$
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

结论：幂级数${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$的和函数$s(x)$在其收敛区间$(-R,R)$内具有任意阶导数

3、函数展开成幂级数

给定函数$f(x)$，要考虑它是否能在某个区间“展开成幂级数”，就是说，是否能找到这样一个幂级数，它在某区间收敛，且其和恰好就是给定的函数$f(x)$。如果能找到这样的幂级数，则函数$f(x)$在该区间能展开成幂级数，而这个幂级数在该区间就表达了函数$f(x)$。

假设函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内能展开成幂级数，既有
$$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdot \cdot \cdot +a_n(x-x_0{)}^n+\cdot \cdot \cdot ,x\in U(x_0)\text{\hspace{1em}(1)}$$
则根据和函数的性质，可知$f(x)$在$U(x_0)$内应具有任意阶导数，且
$$f^{(n)}(x)=n!a_n+(n+1)!a_{n+1}(x-x_0)+\frac{(n+2)!}{2!}{a}_{n+2}(x-x_0{)}^2+\cdot \cdot \cdot ，$$
由此可得
$$f^n(x_0)=n!a_n$$
于是
$$a_n=\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(n=0,1,2,\cdot \cdot \cdot )\text{\hspace{1em}(2)}$$
这就表明，如果函数$f(x)$有幂级数展开式（1），那么该幂级数的系数$a_n$由公式（2）确定，即该幂级数必为
$$\begin{gathered} f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+\cdot \cdot \cdot \\ =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$
而展开式必为
$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n,x\in U(x_0)\text{\hspace{1em}(4)}$$
幂级数（3）叫做函数$f(x)$在点$x_0$处的泰勒级数，展开式$(4)$叫做函数$f(x)$在点$x_0$处的泰勒展开式。

由以上讨论知，函数$f(x)$在$U(x_0)$内能展开成幂级数的充分必要条件是泰勒展开式（4）成立，也就是泰勒级数（3）在$U(x_0)$内收敛，且收敛到$f(x)$。

定理：设函数$f(x)$在点$x_0$的某一邻域$U(x_0)$内具有各阶导数，则$f(x)$在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是在该邻域内$f(x)$的泰勒公式中的余项$R_n(x)$当$n\to \infty$时的极限为零，即
$$li{m}_{n\to \infty }{R}_n(x)=0,x\in U(x_0)$$
在（3）式中，取$x_0=0$，得
$$f(0)+f^{\prime }(0)x+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(0)x^n+\cdot \cdot \cdot =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(0)x^n\text{\hspace{1em}(5)}$$
级数（5）称为函数$f(x)$的麦克劳林级数。若$f(x)$能在$(-r,r)$内展开成x的幂级数，则有
$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(0)x^n(|x|<r)\text{\hspace{1em}(6)}$$
（6）式称为函数$f(x)$的麦克劳林展开式。