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最新推荐文章于 2025-02-06 23:52:46 发布

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本文介绍了一种计算素数与合数概率的方法，并通过线性筛算法预处理素数与合数的期望值。此外，还提供了一个C++实现示例，用于计算特定数值范围内素数和合数的概率及其期望。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Ep 素数概率， Ek 合数概率， p 素数期望， k 合数期望 ( 平均）

E = Ep * p + Ep * Ek * ( p + k ) + Ep * Ek * Ek * （p + 2 * k ) + Ep * Ek * Ek * Ek * ( p + 3 * k ) + .......

= Ep * p * ∑ （Ek ^ x） + Ep * k * ∑ (x * Ek ^ x )

= p * Ep / ( 1 - Ek ) + k * Ep * Ek / ( 1 - Ek ) ^ 2

Ek = 1 - Ep

pos n 之前的素数个数

a(n) n 之前素数期望

b(n) n之前合数期望

E = p + k * Ek / Ep = ( a(n) + b (n) ) / pos ;

线性筛先预处理an bn

这个写的挺费空间仅供参考

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;

int prime[1271000],primesize,phi[20000001];
bool isprime[20000001];
void getlist(int listsize)
{
    memset(phi , 0 , sizeof(phi)) ;
    memset(isprime , 1 , sizeof(isprime));
    isprime[1]=false;
    for(int i=2;i<=listsize;i++)
    {
        if(isprime[i]) {prime[++primesize]=i ; phi[i] = (int)sqrt(i + 0.0) - 1 ;  }
        for(int j = 1 ; j <= primesize && i * prime[j] <= listsize ; j ++)
        {
            isprime[i*prime[j]]=false;
            if(! phi[i*prime[j]] )phi[i*prime[j]] = min(i , prime[j]) - 1 ;
            if(i % prime[j]==0)break;
        }
    }
}
const int maxn = 20000000 ;
int a[20000001] ;
int gcd(int m,int n){
    if(m==0) return n;
    if(n==0) return m;
    if(m%2==0&&n%2==0) return 2*gcd(m/2,n/2);
    else if(m%2==0) return gcd(m/2,n);
    else if(n%2==0) return gcd(m,n/2);
    else
        return gcd(m<n?m:n,fabs(m-n));
}
int main(){
    getlist(maxn) ;

    a[1] = phi[1] = 0 ;
    for(int i = 2 ; i <= maxn ; i ++ ){
        if(isprime[i]){
            a[i] = a[i-1] + phi[i] ;
            phi[i] = phi[i-1] ;
        }else{
            a[i] = a[i-1] ;
            phi[i] = phi[i-1] + phi[i] ;
        }
    }

    //for(int i = 1 ; i <= 10 ; i ++ ) cout << a[i] << " " << b[i] << endl ;
    int T , n ; scanf("%d" , &T) ;
    while( T -- ){

        scanf("%d" , &n) ;
        if(n == 2 || n == 3){ printf("0/1\n") ; continue ;}
        int pos = lower_bound(prime , prime + primesize , n ) - prime ;
        if(!isprime[n]) pos -- ;
        /*double p , k ; double Ep , Ek ;
        Ep = pos * 1.0 / (n - 1) ;
        Ek = 1.0 - Ep ;
        p = a[n] * 1.0 / (pos) ;
        k = b[n] * 1.0 / (n - 1 - pos ) ;
        //printf("%f %f %f %f\n" , Ep , Ek , p , k ) ;
        double ans = p * Ep / (1 - Ek) + k * Ep * Ek / (1 - Ek) /(1 - Ek) ;*/
        int son = a[n] + phi[n] ;
        int ss = gcd(son , pos) ;
        son /= ss , pos /= ss ;
        printf("%d/%d\n",son , pos) ;
    }

    return 0 ;
}