小数的二进制和十六进制表示

简述

        今天在研究生复试面试的过程中被问到小数的二进制和十六进制形式怎么表示，然而这个知识点已经记不得了，只能尴尬的和老师说这个知识点没有掌握好，回去会继续学习。不过其他答的还可以，最后的成绩不错，回去查了下小数的二进制和十六进制的表示方法，在这里做一个记录。

        十进制小数转N进制小数，方法为小数部分乘N取整，每次乘以相应基数之后取结果的整数部分即可。需要注意的是并非所有的十进制小数都能完全转化为N进制小数，这时就需要取近似值。下面详细说下十进制小数转为二进制小数和十六进制小数的方法。

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小数用二进制表示

首先，给出一个任意实数，整数部分用普通的二进制便可以表示，这里只说小数部分如何表示

这里以0.6为例：

文字描述该过程如下：将该数字乘以2，取出整数部分作为二进制表示的第1位；然后再将小数部分乘以2，将得到的整数部分作为二进制表示的第2位；以此类推，直到小数部分为0。 
特殊情况： 小数部分出现循环，无法停止，则用有限的二进制位无法准确表示一个小数，这也是在编程语言中表示小数会出现误差的原因

下面我们具体计算一下0.6的小数表示过程

0.6 * 2 = 1.2 —————— 1 
0.2 * 2 = 0.4 —————— 0 
0.4 * 2 = 0.8 —————— 0 
0.8 * 2 = 1.6 —————— 1 
0.6 * 2 = 1.2 —————— 1 
......

我们可以发现在该计算中已经出现了循环，0.6用二进制表示为 1001 1001 1001 1001 …… 

如果是10.6，那么10.6的完整二进制表示为 1010.100110011001……

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小数用十六进制表示

同样，整数部分用普通的十六进制表示就可以，这里只说小数部分如何表示

这里以0.9为例：

文字描述该过程如下：将该数字乘以16，取出整数部分作为十六进制表示的第1位；然后再将小数部分乘以16，将得到的整数部分作为十六进制表示的第2位；以此类推，直到小数部分为0。 

具体计算一下0.9小数表示过程

0.9 * 16 = 14.4 —————— E
0.4 * 16 = 6.4  —————— 6
0.4 * 16 = 6.4  —————— 6
...... 

该计算中已经出现了循环，0.9用十六进制表示为 0XE6666.....

如果是10.9，那么10.9的十六进制为0XA.E6666.....

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二进制表示的小数转换为十进制

其实这个问题很简单，我们再拿0.6的二进制表示举例：1001 1001 1001 1001 

文字描述：从左到右，v[i] * 2^( - i ), i 为从左到右的index，v[i]为该位的值，直接看例子：

0.6 = 1 * 2^-1 + 0 * 2^-2 + 0 * 2^-3 + 1 * 2^-4 + ……

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计算机中小数的存储

        知道了小数的二进制和十六进制表示，那么在计算机中，小数又是怎么存储的呢。小数也就是浮点数，通常代码中用float(单精度浮点数)和double(双精度浮点数)声明，在计算机中存储通常采用 IEEE 754 标准，即通过 符号位 + 指数位 + 尾数位 的组合表示数值。

        计算机中float通常占4个字节，即32位，这里符号位占1位，指数位占8位，尾数位占23位。

1.符号位0表示正数，1表示负数。

2.指数位则表示使用科学计数法后指数的偏移值，例如上面我们已经知道10.6的二进制可以表示为1010.100110011001……，使用科学计数法后，就是1.010100110011001…… * 2^3，由于整数位一定是1，所以我们只存储指数来表示浮点数的整数部分。

        由于也会存储0.0001这样的小数，这时指数为负数，但我们只有8位，为了不再浪费一位存储指数的正负，所以约定存储的指数为实际的指数-127，即原本的指数是3，但计算机存储的时候是3+127=130，二进制表示为10000010。所以我们说指数位存储的是使用科学计数法后指数的偏移值。

3.最后尾数位就是浮点数的小数部分，对于float，小数部分最多只能存储23位。

        以十进制数 8.75 为例：

1. 转换为二进制：8.75=1000.11
2. 规格化：1000.11=1.00011​×2^3
3. 存储值：
   • 符号位：0
   • 指数位：3+127=130→10000010
   • 尾数位：00011 （后补18个0）00011 （后补18个0）
4. 最终二进制表示：
   0 10000010 00011000000000000000000

        对于double来说，存储方式和float一致，只是double占8个字节，即64位，对于符号位、指数位、尾数位分配的位数不一样，可以表示更精确的小数 

组成部分	单精度（32位）	双精度（64位）
符号位	1位	1位
指数位	8位	11位
尾数位	23位	52位