【洛谷P1850】换教室

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首先看题，求什么全局最大值，基本可以确定是用动归。

我们先不考虑概率，那么问题转化为：上完N节课消耗的最小体力值是多少。

如何转移？

对于每个时间段，显然有换课有不换课两种选择，并且一节课的答案只与上一节课的答案有关。

可以用 dis [ i ] [ j ] 表示 [ i 教室 ] 到 [ j 教室 ] 的最短路（数据很小，可以预先Floyd处理出来）

用 f [ i ] [ 0/1 ] 表示 [ 第i节课 ] [ 换教室/不换教室 ] 的答案，显然，有四种情况：

两节课都不换，都在c教室：f [ i ] [ 0 ] = min ( f [ i ] [ 0 ] , f [ i - 1 ] [ 0 ] + dis [ c [ i - 1 ] ] [ c [ i ] ] )

上一节课换了，上节课在d教室：f [ i ] [ 0 ] = min ( f [ i ] [ 0 ] , f [ i - 1 ] [ 1 ] + dis [ d [ i - 1 ] ] [ c [ i ] ] )

这一节课换了，这节课在d教室：f [ i ] [ 1 ] = min ( f [ i ] [ 1 ] , f [ i - 1 ] [ 0 ] + dis [ c [ i - 1 ] ] [ d [ i ] ] )

两节课都换了，都在d教室：f [ i ] [ 1 ] = min ( f [ i ] [ 1 ] , f [ i - 1 ] [ 1 ] + dis [ d [ i - 1 ] ] [ d [ i ] ] )

-----------上方方程k=min(k,a);k=min(k,b)均可写成k=min(a,b)------------------------------

这么一看还挺对的。

现在开始考虑期望。题中已经给出了我们每个事件发生的概率，所以上述四种情况又需要考虑  换成功了/失败了  的情况。

例如：f [ i ] [ j ] [ 0 ] = min ( f [ i - 1 ] [ j ] [ 0 ] + dis [ c [ i - 1 ] ][ c [ i ] ] , //不换的情况，概率不影响
                                          f [ i - 1 ] [ j ] [ 1 ] + p [ i - 1 ] * dis [ d [ i - 1 ] ] [ c [ i ] ]  
                                        + ( 1 - p [ i - 1 ] ) * dis [ c [ i - 1 ] ] [ c [ i  ] ] 
                                          );

f [ i - 1 ] [ j ] [ 1 ] + p [ i - 1 ] * dis [ d [ i - 1 ] ] [ c [ i ] ]  // 换 i - 1后，i - 1成功的概率是 p [ i ] , 所以走这条边的概率就是p [ i ] 

( 1 - p [ i - 1 ] ) * dis [ c [ i - 1 ] ] [ c [ i  ] ] //同理，走另一条边对期望的贡献

同理，可以根据我们之前列的简化版方程，推出其他的情况。

f [ i ] [ j ] [ 0 ] = min
                      ( f [ i - 1 ] [ j ] [ 0 ] + dis [ c [ i - 1 ] ] [ c [ i ] ] ,
                        f [ i - 1 ] [ j ] [ 1 ]  + p [ i - 1 ] * d i s [ d [ i - 1 ] ] [ c [ i ] ] + ( 1 - p [ i - 1 ] ) * d i s [ c [ i - 1 ] ] [ c [ i ] ]
                      );
f [ i ] [ j ] [ 1 ] = min
                      ( f [ i - 1 ]  [ j - 1 ] [ 0 ] + p [ i ] * d i s [ c [ i - 1 ] ] [ d [ i ] ] + ( 1 - p [ i ] ) * dis [ c [ i - 1 ] ] [ c [ i ] ]
                        f [ i - 1 ] [ j - 1 ] [ 1 ] + p [ i - 1 ] * p [ i ] * dis [ d [ i - 1 ] ] [ d [ i ] ]
                     + p [ i - 1 ] * ( 1 - p [ i ] ) * dis [ d [ i - 1 ] ] [ c [ i ] ]
                     + ( 1 - p [ i - 1 ] ) * p [ i ] * dis [ c [ i - 1 ] ] [ d [ i ] ]
                     + ( 1 - p [ i - 1 ] ) * ( 1 - p [ i ] ) * dis [ c [ i - 1 ] ] [ c [ i ] ]
                     );

完结撒花~

代码代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 2005
using namespace std;
int n,m,v,e;
int c[maxn],d[maxn];
double p[maxn];
int dis[305][305];
int x,y,z;
double f[maxn][maxn][2];
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&v,&e);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&c[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&d[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&p[i]);
    for(int i=1;i<=v;i++){
        for(int j=1;j<=v;j++)
            dis[i][j]=1e9;
        dis[i][i]=0;
    }
    for(int i=1;i<=e;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        dis[x][y]=min(dis[x][y],z);
        dis[y][x]=dis[x][y];
    }
    for(int k=1;k<=v;k++)
        for(int i=1;i<=v;i++)
            for(int j=1;j<=v;j++)
                dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
    f[1][0][0]=0;f[1][1][1]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            f[i][j][0]=min(f[i-1][j][0]+dis[c[i-1]][c[i]],
                           f[i-1][j][1]+p[i-1]*dis[d[i-1]][c[i]]+(1-p[i-1])*dis[c[i-1]][c[i]]);
            if(j)
            f[i][j][1]=min(f[i-1][j-1][0]+p[i]*dis[c[i-1]][d[i]]+(1-p[i])*dis[c[i-1]][c[i]],
                           f[i-1][j-1][1]+p[i-1]*p[i]*dis[d[i-1]][d[i]]
                                         +p[i-1]*(1-p[i])*dis[d[i-1]][c[i]]
                                         +(1-p[i-1])*p[i]*dis[c[i-1]][d[i]]
                                         +(1-p[i-1])*(1-p[i])*dis[c[i-1]][c[i]]
            );
            else f[i][j][1] = 1e18;
        }
    double ans=1e18;
    for(int j=0;j<=m;++j)ans=min(ans,min(f[n][j][0],f[n][j][1]));
    printf("%.2lf",ans);
}

（李煜东：卡什么常啊，能不能有点追求）