线性筛素数与欧拉函数

线性筛素数

问题：给出n，输出所有<=n的素数。

1.暴力做法：

枚举一个 i (3<=i<=n) 暴力判断 i 是否是素数，是的话输出。

复杂度O(nlog(n))，海星。但是筛素数往往只是解题的一小步，这个复杂度有点高了。

2.Eratosthenes筛法:

第一种方法由于要挨个判断，复杂度高了些。为了避免不必要的判断，我们可以在找出一个素数时，筛掉它所有的倍数。这样复杂度降到了O(nloglog(n))，非常接近线性。

（lyd:卡这种常数的简直是丧病）

代码实现也很简单：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define maxn 1000005
using namespace std;
int v[maxn],pri[maxn];
int m=0,n;
void primes(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(v[i])continue;
        printf("%d ",i);
        for(int j=1;j<=n/i;j++){
            v[i*j]=1;
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    primes(n);
}

3.线性筛素数

虽然上一种筛法已经比较优秀了，但还不是线性。

现在如果要重新开辟一条思路，比较难。所以我们考虑，在筛法2中做了哪些无用功。

合数会被它的每一个质因子筛。

如果线性筛法，应该找一个办法，使得每一个合数只被筛一次，这样就保证了线性的复杂度。

最经典的做法就是让每一个合数只被它最小的质因子筛掉。

一个例子：n=10;

代码（一会会跑一遍）：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define maxn 1000005
using namespace std;
int v[maxn],pri[maxn];
int m=0,n;
void primes(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!v[i]){
            v[i]=i;
            pri[++m]=i;
        }
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(pri[j]>v[i]||pri[j]>n/i)break;
            v[i*pri[j]]=pri[j];
        }
    }
} 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    primes(n);
    for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d ",pri[i]);
}

模拟过程（水印遮掉的部分都是2,3,5,7）：

好的，线性筛就完了。

欧拉函数

问题：给定n，问1~n中与n互质的数的个数。

欧拉函数常用  表示。

                                   

 

按照上方筛法2，p会筛掉 n/p 个数，q会筛掉 n/q 个数，

根据容斥原理，最后剩下的个数应该是       ​​​​​​​

依次类推，证毕。

根据以上，可以通过分解质因数来求欧拉函数。

但很多时候都要求1~n的欧拉函数，这就需要线性推出欧拉函数。

首先要明确一些东西：

欧拉函数是积性函数，即:                          

于是就有了一些引理：

1.若  且 ，

2.若  且  不整除 n , 

证明：

1.把 n 和 ( n / p ) 分解质因数，公式连乘部分相同，只是'n'的部分多了p，所以成立。

2.此时 n 和 ( n / p ) 互质，根据积性函数可得引理2。

有了这两个引理，就可以在线性筛的时候顺便筛欧拉函数了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define maxn 1000005
using namespace std;
int v[maxn],pri[maxn],phi[maxn];
int m=0,n;
void primes(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!v[i]){
            v[i]=i;
            pri[++m]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(pri[j]>v[i]||pri[j]>n/i)break;
            v[i*pri[j]]=pri[j];
            phi[i*pri[j]]=phi[i]*(i%pri[j]?pri[j]-1:pri[j]);
        }
    }
} 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    primes(n);
    for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d ",pri[i]);
    cout<<endl;
    for(int j=1;j<=n;j++)printf("%d ",phi[j]);
}

---

我数学怎么这么菜啊

​​​​​​​