内积、点积和坐标

        内积是一个纯数学概念，在向量空间中，只要满足一定的性质（正性、定性、可加性、齐性和共轭对称性）的函数运算就可以成为内积，因此具体的内积具有很多种形式。

        点积是定义在空间上的一种内积，具体的形式为：

目前为止，这里的空间以及点积都是纯数学概念，不要将中的元素误认为是坐标，其本身就是向量空间中的向量，不需要基才能表达，因此其并不是坐标（坐标意味着必须要明确基）。

        上述是纯数学上定义的点积，不涉及物理意义下的长度和角度等概念（当然数学上的内积空间可以定义自己的长度和角度概念）。在物理意义下，点积的定义和向量的长度和角度有关，对两个向量a和b的点积，定义如下：

其中|a|表示向量a的长度，表示向量a和b之间的夹角。这里的定义中，向量a和b具有明确的物理意义，是物理对象，因为具有物理意义下的长度和角度。这是物理意义下的点积定义。

        如何把纯数学意义上的点积和物理意义下的点积联系起来呢？很容易想到，就是把物理意义下的向量坐标化，因为首先物理意义下的向量满足向量空间的定义，因此只要找到基就可以坐标化。假设a、b是一个平面，也就是二维空间上的两个向量，那么可以随意找一组基i、j，就可以确认a、b的坐标，假设为(x1,y1)、(x2,y2），则a、b的点击可以转化为如下形式：

其中是基i、j的夹角。这里利用到了物理定义下的点积依然满足点积的分配律。

         显然，只有i、j是规范正交基时，物理意义下的向量坐标可以等价于数学意义上的中的元素，进行点积运算。但是实际上，我们选取规范正交基并不是为了和数学定义上的内积联系起来，因为数学上的内积有很多种，只要满足内积定义即可，对于任意一组基，都可以定义一种内积使得物理意义下的向量坐标等价于中的元素，直接采用物理意义下的坐标运算形式即可，可以验证其满足内积定义。实际上，选取基是为了将向量坐标化，从而可以使用内积运算，使用数学工具进行更多的分析研究，而选取规范正交基仅仅只是为了计算简单（上述最后一项为0，可以消去，i、j的长度为1，系数也可以忽略）。

        所以点积的由来源自物理意义下的点积的定义，为了将物理意义下的点积形式化，可以使用内积数学工具，引入基将向量坐标化，从而对坐标进行运算操作。规范正交基的选取是为了计算简单，为了内积具有简单形式（规范正交基下的坐标运算就是本文开始纯数学意义上的点积形式）。

        关键不要混淆向量空间中的向量和坐标，内积是定义在向量上的，而不是坐标上。坐标为什么会引入是因为研究了基的关系，就可以知道整个空间中向量的关系，而向量和基的联系就是坐标。