树状数组算法讲解及例题

核心思想

每个位置的覆盖范围由二进制最低位的$1$决定。
例如：
索引$6$(二进制为$110$) 管理$2$个元素（$5$到$6$）
索引$8$(二进制为$1000$) 管理$8$个元素（$1$-$8$）
那这个覆盖范围就是最低位的$1$来决定，说人话就是这个数的二进制从右往左数第一个$1$为最高位，找过的$0$一次排在次低位的数。对$x$找这样的数称为$lowbit(x)$。
比如说$6(110_2)$,他的$lowbit$值就是$2(10_2)$
而$8(1000_2)$，整个二进制就开头一个$1$，所以$lowbit(8)$就是他自己。
而这个$lowibt$值的求法就是按位与自己的相反数

int lowbit(int x){
	return x&-x;
}

然后树状数组的核心代码就完了。

更新操作

单点修改

比如说要对点$x$加上$k$，那么和线段树的思想差不多，当子节点被改动时，上层节点的值也会变动，怎么找到上层节点呢？$x$的上层节点就是$lowbit(x)$，所以改完点$x$的值之后，就应该改动点$lowbit(x)$的值，使其一直维护区间和。一直往上找，直到找到了一个点包含整个数组的区间和（根节点）为止。

void change(int x,int k){
	while(x<=n){
		f[x]+=k;
		x+=lowbit(x);
	}
}

区间查询

树状数组的区间查询类似前缀和，是
如果我们要查询$a_1$ ~ $a_x$的和，先看一下核心思想部分，那个部分讲过点$x$的覆盖范围是$lowbit(x)$，也就是说在大小为$lowbit(x)$的范围内，这个区间的点之和是被点$x$包含的，所以这个区间的元素和就存在点$x$之中，不用再计算，那么我们就要减去点$x$所覆盖的区间，查找下一个区间，所以就在统计完之后用$x$减去$lowbit(x)$。直到剪完了，$1$ ~ $x$都查完了为止。

int query(int x){
	int res=0;
	while(x){
		res+=f[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return res;
}

然后如果要查找区间$l$ ~ $r$，就想前缀和那样，用$query(r)$减去$query(l-1)$就行了。
整个树状数组的主要函数就讲完了。

模版题：P3374【模板】树状数组 1

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int a[N];
int bit[N];
int n,m;
int lowbit(int x){
	return x&-x;
}
void change(int x,int k){
	while(x<=n){
		bit[x]+=k;
		x+=lowbit(x);
	}
}
int query(int x){
	int res=0;
	while(x){
		res+=bit[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return res;
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		change(i,a[i]);//将原数组存入树状数组
	}
	while(m--){
		int op,l,r;
		cin>>op>>l>>r;
		if(op==1){
			change(l,r);
		}
		else{
			cout<<query(r)-query(l-1)<<'\n';
		}
	}
}

例题2

接下来再来看另一道题：P3368 【模板】树状数组 2
区间修改，阁下又该如何应对

思路

但是这道题是点查询，所以我们不用写真正的区间修改。
我们只需要用树状数组维护修改的内容就行了。

change(l,k);
change(r+1,-k);

至于点查询，就是用$query(x)$减去$query(x-1)$就行了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int a[N];
int f[N];
int n,m;
int lowbit(int x){
	return x&-x;
}
void change(int x,int k){
	while(x<=n){
		f[x]+=k;
		x+=lowbit(x);
	}	
}
int query(int x){
	int res=0;
	while(x){
		res+=f[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return res;
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	while(m--){
		int op,l,r,k;
		cin>>op>>l;
		if(op==1){
			cin>>r>>k;
			change(l,k);
			change(r+1,-k);
		}
		else{
			cout<<a[l]+query(l)<<'\n';
		}
	}
}