『数学期望·枚举』Rinbow的信号

题目描述

Freda发明了传呼机之后，rainbow进一步改进了传呼机发送信息所使用的信号。

由于现在是数字、信息时代，rainbow发明的信号用N个自然数表示。

为了避免两个人的对话被大坏蛋VariantF偷听，rainbow把对话分成A、B、C三部分，分别用a、b、c三个密码加密。

现在Freda接到了rainbow的信息，她的首要工作就是解密。

Freda了解到，这三部分的密码计算方式如下：

在1~N这N个数中，等概率地选取两个数l、r，如果l>r，则交换l、r。把信号中的第l个数到第r个数取出来，构成一个数列P。

A部分对话的密码是数列P的xor和的数学期望值，xor和就是数列P中各个数异或之后得到的数； xor和的期望就是对于所有可能选取的l、r，所得到的数列的xor和的平均数。

B部分对话的密码是数列P的and和的期望，定义类似于xor和。

C部分对话的密码是数列P的or和的期望，定义类似于xor和。

请你帮忙计算这三个密码。

题目大意

有n个数，每一选取一个区间得到这些数的异或值、或值和与值；求这三项的期望。

题解

这一题的主要思路就是对二进制的每一位进行拆分枚举。这道题主要考察对期望和位运算本质的理解。

具体的说，就是每一个数都对应一个二进制数；而二进制数数中，我们可以将其看作一个n行若干列的矩阵；由于每一列中互不影响，因此我们对于每一列进行单独处理。

对于长度为1的序列，概率为$\frac{1}{n^2}$;因此对于每一列，例如是从右往左是第i列，假设以0为其实列进行计数，有j个1，则对答案的贡献是：$j\ast 2^i\ast \frac{1}{n^2}$.

对于每一个长度不为1的序列，因为有左端点和右端点的重复选择，因此得到的概率为$n^2$