Miller_Rabin 简要版

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本文介绍了Miller-Rabin素数判定算法，包括其基于费马小定理的朴素检验、为何失败以及如何通过二次探测改进。详细阐述了算法的实现过程，并讨论了算法的应用。通过多次随机选取基数进行测试，该算法能有效提高素数判定的准确性。

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Miller_Rabin 简要版

简介：通俗易懂版本。

1.很 naive 的检验——费马小定理的逆定理

我们知道 $n$ 为质数的时候 $an−1≡1(modn)a^{n-1}\equiv1\pmod{n}$ 成立。

所以不妨就随机几个 $a$ 为底然后判断一下费马小定理是否成立即可。

mt19937 Rand(time(0));
LL mul(LL a,LL b,LL p){
	return (__int128)a*b%p;
}LL pow(LL a,LL b,LL p){
	LL ans=1;
	for(;b;b>>=1){
		if(b&1)ans=mul(ans,a,p);
		a=mul(a,a,p);}
	return ans;
}bool pd(LL x){
	if(x<=2)return x==2;
	LL a;
	for(I i=1;i<=10;++i){
		a=Rand()%(x-2)+2;
		if(pow(a,x-1,x)!=1)
			return 0;
	}return 1;
}

果不其然，WA 成狗了，33分。（LOJ#147 素数判定）

为什么？因为可以构造卡迈克尔数来卡掉这个玩意，能通过所有的检验但是它是一个和数。

所以我们要结合另外的方法。

2.大神出场——二次探测

~~此处应该有掌声~~

先来介绍一个定理，如果 $p$ 为奇素数，那么对于 $x2≡1(modp)x^2\equiv1\pmod p$ 的方程，有两个平凡平方根： $x = 1$ 或者 $x = p - 1$ 。

（为什么不为偶素数，即为2呢？因为 $x$ 只有一个解，即 $1$ 。）

移项， $x2−1≡0(modp)x^2-1\equiv0\pmod p$

所以 $(x+1)(x−1)≡0(modp)(x+1)(x-1)\equiv0\pmod p$ 。所以 $x = 1$ 或者 $x = p - 1$ 。

3.Miller_Rabin 算法实现

我们不是在 (1) 中处理出来 $a^{n-1}$ 了吗？

那么我们就继续处理它：把 $n - 1$ 分解成 $u×2tu\times 2^t$ 的形式（这个比较简单哈）。显然 $n - 1$ 为偶数。

我们回想一下上面的二次探测有什么用呢？奇素数只有两个平凡平方根。

而有非平凡平方根，这说明了什么？

再具体代入一对解， $x2≡y2≡1(modp)x^2\equiv y^2\equiv1\pmod p$ 则 $(x+y)(x−y)≡0(modp)(x+y)(x-y)\equiv0\pmod p$ 。

显然， $x−y≤px-y\le p$ 。所以如果不是非平凡平方根的话，这个 $p$ 必然会被分解成另外的形式！

那么 $p$ 就不是一个素数了。

所以，如果 $x2≡1(modn)x^2\equiv 1\pmod n$ 而 $x≠1x\ne 1$ 或者 $n - 1$ 的话 $x$ 就是一个非平凡平方根。 $p$ 是过不了检验的。

实现的时候，先算出 $a^u$ 的值 $v$ ；然后不断平方 $t$ 次。不断平方， $a^u$ 变成 $a^{2u}$ 一直变成 $a^{2^tu}$ 即 $a^{n-1}$ 。

在不断平方的过程中，先判断 $v$ 和 $p$ 的关系，然后再平方。

bool pd(LL n){
	if(n<3||n%2==0)return n==2;
	LL u=n-1,t=0;
	while(u%2==0)u>>=1,++t;
	for(I i=1,j;i<=10;++i){
		LL a=Rand()%(n-2)+2,v=pow(a,u,n);
		if(v==1)continue;
		for(j=1;j<=t;++j){
			if(v==n-1)break;
			v=mul(v,v,n);
		}
		if(j>t)return 0;
	}return 1;
}