[算法] EXCRT 证明

SMT0x400

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分类专栏：数学文章标签：算法概率论线性代数

于 2021-07-18 20:24:45 首次发布

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初始值

$\begin{Bmatrix}x\equiv a \pmod{b}\\ x\equiv c\pmod{d}\end{Bmatrix}$

证明

$\begin{Bmatrix} x=a+Pb\\ x=c+Qd\\ \end{Bmatrix}\\ a+Pb=c+Qd\\ a-c=Qd-Pb\\ 令t=\gcd(b,d),则\\ \frac{a-c}{t}=\frac{Qd}{t}-\frac{Pb}{t}\\ \frac{a-c}{t}\equiv Q\frac{d}{t} \pmod{\frac{b}{t}}\\ 问题就转化成\,\,\,ax\equiv b\pmod m 了。\\ 我们求出这个\,\,\,x ,即为\,\,\,Q\,\,\,\\ 代入\,\,\, x=c+Qd \,\,\,即可$

代码

注意可能爆LL……

#include<bits/stdc++.h>
#define RI register int
using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3fffffff;int CH,FL;template<typename T>bool in(T&a){for(CH=getchar(),FL=1,a=0;!isdigit(CH)&&CH!=EOF;CH=getchar())FL=(CH=='-')?-1:1;for(;isdigit(CH)&&CH!=EOF;CH=getchar())a=a*10+CH-'0';return a*=FL,CH!=EOF;}template<typename T,typename...Args>int in(T&a,Args&...args){return in(a)+in(args...);}
int n;
inline LL mul(LL a,LL b,LL mod){
	a=((a%mod)+mod)%mod;
	b=((b%mod)+mod)%mod;
	__int128 c=a;c*=b;c%=mod;
	return (LL)c;
}
void exgcd(LL a,LL b,LL&x,LL&y){
	if(b==0){x=1;y=0;return;}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	int t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;
}
inline LL inv(LL a,LL mod){
	a%=mod;(a+=mod)%=mod;
	LL x,y;
	exgcd(a,mod,x,y);
	return ((x%mod)+mod)%mod;
}
const int maxn=20001;
LL a[maxn],b[maxn];
inline LL lcm(LL a,LL b){
	return a/__gcd(a,b)*b;
}
void excrt(){
	LL A=a[1],B=b[1];
	for(RI i=2;i<=n;++i){
		LL t=__gcd(b[i],B);
		if((A-a[i])%t!=0){printf("No Answer\n");return;}
		A=A+mul(mul(inv(B/t,b[i]/t),(a[i]-A)/t,b[i]/t),B,lcm(B,b[i]));
		B=lcm(B,b[i]);
	}printf("%lld\n",A);
}
int main(){
	in(n);
	for(RI i=1;i<=n;++i)in(b[i],a[i]);
	excrt();
	return 0;
}