C - u Calculate e

本文介绍了一种通过数学公式计算自然对数的底数e的近似值的方法,并使用C++实现了一个程序来展示如何随着迭代次数增加,逐步提高e的计算精度。输出结果从n为0到9的范围内展示了不同阶乘项对总和的贡献。
   A simple mathematical formula for e is



where n is allowed to go to infinity. This can actually yield very accurate approximations of e using relatively small values of n.
Output Output the approximations of e generated by the above formula for the values of n from 0 to 9. The beginning of your output should appear similar to that shown below.
Sample Output
n e
- -----------
0 1
1 2
2 2.5
3 2.666666667

4 2.708333333

#include<iostream>

#include<stdlib.h>

#include<cmath>

#include<cstring>

using namespace std;

long long mi(int l){

if(l==0) 

 return 1;

long long num=1;

for(int i=1;i<=l;i++)

{

num=num*i;

}

return num;

}

int main(){

double e=0

;cout<<"n e"<<endl;

cout<<"- -----------"<<endl;

for(int i=0;i<=2;i++) {

e=e+1.0/mi(i);

cout<<i<<" "<<e<<endl; 

}

for(int i=3;i<=9;i++)

{

e=e+1.0/mi(i);

printf("%d %.9lf\n",i,e); 

}

return 0;

}

<think>好的,用户希望逐行解析他们提供的FORTRAN 77代码中各个子程序的功能。首先,我需要回顾之前用户的问题和我的回答,确保这次解析符合他们的需求。用户之前询问了FORTRAN 77的兼容性,现在他们想更深入地理解代码的具体部分。 用户列出了一系列子程序,每个都需要详细解释。我需要确保每个子程序的功能描述准确,并且符合FORTRAN 77的上下文。例如,像ATR_INITIALIZE这样的初始化子程序可能涉及变量和数组的初始化,而STRUCTURALCOMPONENT作为主程序可能控制整个流程。 接下来,我需要考虑用户可能的背景。他们可能正在维护或迁移旧的FORTRAN代码,或者在学习如何理解遗留系统。因此,解释需要技术性,但也要清晰,避免使用过多术语,尤其是在涉及数值方法如LU分解或雅可比矩阵时。 需要注意的是,用户提到的子程序如ludcmp2和lubksb2,这些是线性代数中的标准方法,但具体实现可能因代码而异。需要指出这些子程序在数值计算中的作用,比如求解线性方程组。 此外,用户提到了有限差分法计算导数,这可能涉及偏微分方程或动力学系统的求解。要解释CTd子程序如何利用有限差分来近似导数,以及这可能的应用场景,比如结构分析中的时间步进。 还要注意代码中的输入输出部分,如OUTPUT子程序,负责将结果写入文件,这对于后续的数据分析和可视化很重要。需要提到可能的文件格式和结构,确保用户了解如何访问生成的数据。 可能存在的一些挑战是,某些子程序名称不够直观,如ctlyb和cross,需要根据命名和上下文推测其功能。例如,cross可能涉及向量到对偶矩阵的转换,这在某些数学或物理应用中是常见的操作。 另外,用户可能希望了解这些子程序之间的调用关系,比如主程序如何协调各个子程序的执行流程。虽然逐行解析每个子程序,但整体结构的概述也能帮助用户理解代码的组织方式。 最后,确保回答结构清晰,每个子程序单独列出,用简短的段落或列表说明其功能,并指出可能的数值方法或算法,以增强用户的深入理解。同时,检查是否有遗漏的子程序,确保全面覆盖用户的需求。</think>#### FORTRAN 77代码逐行功能解析 以下为各子程序的核心功能解析,基于代码命名惯例和数值计算常见模式: --- ### 1. **`ATR_INITIALIZE`(初始化变量)** - **功能**:初始化全局变量(如结构参数、材料属性、初始条件) - **典型操作**: ```fortran COMMON /PARAMS/ E_MODULUS, DENSITY ! 定义材料弹性模量、密度 E_MODULUS = 2.1E11 ! 钢的弹性模量(Pa) DENSITY = 7850.0 ! 钢的密度(kg/m³) ``` - **关键点**:可能通过`COMMON`块共享全局数据,需注意初始化顺序[^1]。 --- ### 2. **`STRUCTURALCOMPONENT`(主程序)** - **功能**:控制程序流程(如读输入、调用求解器、写输出) - **典型结构**: ```fortran CALL ATR_INITIALIZE() CALL equations() ! 计算力向量 CALL Jacobi() ! 生成雅可比矩阵 CALL ludcmp2() ! LU分解系数矩阵 CALL lubksb2() ! 回代求解位移 CALL OUTPUT() ! 输出结果 ``` --- ### 3. **`equations`(计算$F_x$)** - **功能**:组装**非线性方程组残差向量** - **数学模型**: $$ F(x) = K(x) \cdot x - P $$ - $K(x)$: 非线性刚度矩阵 - $P$: 外部载荷向量 - **实现示例**: ```fortran DO 100 I = 1, NDOF F(I) = F_INTERNAL(I) - F_EXTERNAL(I) ! 内力-外力平衡 100 CONTINUE ``` --- ### 4. **`Jacobi`(计算雅可比矩阵)** - **功能**:构造方程组对未知量的**雅可比矩阵**$J_{ij} = \frac{\partial F_i}{\partial x_j}$ - **数值方法**:可能使用**解析求导**或**有限差分近似** - **代码特征**: ```fortran DO 200 J = 1, N X_SAVE = X(J) X(J) = X(J) + DELTA CALL equations() ! 扰动后重新计算F DO 200 I = 1, N JAC(I,J) = (F_NEW(I) - F_OLD(I)) / DELTA ! 中心差分 X(J) = X_SAVE ! 恢复原值 200 CONTINUE ``` --- ### 5. **`ludcmp2`(LU分解)** - **功能**:对系数矩阵$A$进行**LU分解**($A=LU$,$L$下三角,$U$上三角) - **算法核心**: ```fortran DO 300 K = 1, N-1 DO 310 I = K+1, N FACTOR = A(I,K)/A(K,K) A(I,K) = FACTOR DO 310 J = K+1, N A(I,J) = A(I,J) - FACTOR*A(K,J) 310 CONTINUE 300 CONTINUE ``` - **注意**:此实现可能未处理主元选取,需检查数值稳定性[^3]。 --- ### 6. **`lubksb2`(回代求解)** - **功能**:利用LU分解结果解方程$Ax=b$ - **步骤**: 1. 前向替换解$Ly = b$ 2. 后向替换解$Ux = y$ - **代码片段**: ```fortran ! 前向替换 DO 400 I = 2, N SUM = B(I) DO 410 J = 1, I-1 SUM = SUM - A(I,J)*B(J) 410 CONTINUE B(I) = SUM 400 CONTINUE ! 后向替换 DO 500 I = N, 1, -1 SUM = B(I) DO 510 J = I+1, N SUM = SUM - A(I,J)*X(J) 510 CONTINUE X(I) = SUM/A(I,I) 500 CONTINUE ``` --- ### 7. **`t`(向量转对偶矩阵)** - **功能**:将向量转换为**反对称矩阵**(常用于刚体动力学) - **数学定义**: $$ \text{若向量} \ \mathbf{v} = [v_1, v_2, v_3]^T, \ \text{则} \ T = \begin{bmatrix} 0 & -v_3 & v_2 \\ v_3 & 0 & -v_1 \\ -v_2 & v_1 & 0 \end{bmatrix} $$ - **实现**: ```fortran SUBROUTINE t(v, T) REAL v(3), T(3,3) T(1,2) = -v(3) T(1,3) = v(2) T(2,1) = v(3) T(2,3) = -v(1) T(3,1) = -v(2) T(3,2) = v(1) END ``` --- ### 8. **`ctlyb`(计算C矩阵转置)** - **功能**:生成**约束矩阵**$C$的转置$C^T$(常见于多体动力学约束方程) - **关联操作**:可能与广义坐标$\theta$相关,如$C(\theta) \cdot \dot{\theta} = 0$ --- ### 9. **`CTd`(有限差分法计算导数)** - **功能**:通过有限差分计算导数(如$\frac{dC^T}{dt}$、$\frac{dP}{dt}$) - **方法**: $$ \frac{df}{dt} \approx \frac{f(t+\Delta t) - f(t-\Delta t)}{2\Delta t} $$ - **代码特征**: ```fortran CALL CTlyb(theta_old, CT_old) theta_new = theta_old + DELTA CALL CTlyb(theta_new, CT_new) dCT_dt = (CT_new - CT_old) / DELTA ``` --- ### 10. **`dif`(计算$\frac{\partial \dot{C}^T}{\partial \theta}$)** - **功能**:计算雅可比矩阵中与广义坐标$\theta$相关的偏导数 - **数学意义**:在约束方程中,该导数用于构建**拉格朗日乘子**的系数矩阵 --- ### 11. **矩阵/向量操作类** | 子程序 | 功能描述 | 数学表达式示例 | |--------|-----------------------------------|-------------------------------| | `mm` | 矩阵相乘 $C = A \times B$ | $C_{ij} = \sum_k A_{ik}B_{kj}$ | | `mv` | 矩阵与向量相乘 $y = A \cdot x$ | $y_i = \sum_j A_{ij}x_j$ | | `vv` | 向量点积或外积 | 点积: $a \cdot b = \sum a_i b_i$ | | `m_m` | 矩阵相加 $C = A + B$ | $C_{ij} = A_{ij} + B_{ij}$ | | `v_v` | 向量相加 $c = a + b$ | $c_i = a_i + b_i$ | --- ### 12. **`cross`(列向量转对偶矩阵)** - **功能**:与`t`子程序类似,可能用于将**角速度向量**转换为反对称矩阵 - **应用场景**:刚体转动动能计算 $T = \frac{1}{2} \omega^T I \omega$ --- ### 13. **`OUTPUT`(输出变量到文件)** - **功能**:将计算结果写入文本文件(如节点位移、应力分布) - **典型实现**: ```fortran OPEN(UNIT=10, FILE='displacement.dat') WRITE(10, '(E16.8)') (X(I), I=1, NDOF) ! 按科学计数法写入位移 CLOSE(10) ``` --- ### 系统级特征分析 1. **数值方法**:代码实现了**牛顿-拉夫森迭代法**框架: $$ J(x_k) \Delta x = -F(x_k) $$ $$ x_{k+1} = x_k + \Delta x $$ 2. **物理背景**:从`CTlyb`、`cross`等子程序推断,可能用于**多体动力学仿真**或**结构非线性分析**。 --- #### 相关问题 1. 如何验证LU分解在结构分析中的数值稳定性? 2. 有限差分步长$\Delta t$选取对导数计算精度的影响? 3. 在多体动力学中,约束矩阵$C$的物理意义是什么? [^1]: FORTRAN 77中COMMON块的数据共享机制 [^3]: LU分解中的主元选取与数值稳定性关系
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