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最新推荐文章于 2025-07-28 12:55:32 发布

原创最新推荐文章于 2025-07-28 12:55:32 发布 · 342 阅读

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#算法 #c++ #图论

题目大意：对于每个数而言，可以将其染成红或蓝，对于每一个数，定义其贡献为 $ai$ ，当且仅当这个数最近的同色数与其相等，否则其贡献为0，求最大贡献和。

思路：考虑dp

1.考场20多分钟想的奇怪东西：

定义 $f[n][0/1]$ 表示第i为的颜色为蓝或红，则有转移： $f[i][0]=f[j][0]+(a[i]==a[j])*a[i]+calc(j+1,i-1,1)$

$f[i][1]=f[j][1]+(a[i]==a[j])*a[i]+calc(j+1,i-1,0)$

问题出在calc中，当时想的是 $sum=\sum_{st}^{ed}f[i][cl]$ 就是他的值。但其实拿那个样例比对一下，就能发现 $sum=f[st][cl]+sum_{st+1}^{ed}(a[i]==a[i-1])*a[i]$ ，对于最左边的数，它的贡献是 $f[st][cl]$ ，其他点就是把相邻两个数的值相等的贡献加起来。注意到如果相邻两个相同数被染成同样的颜色，那么应该是 $f[st-1][cl]$ （一定要拿特殊数据测一测，否则只有5pts）。

2. $O(n^2)$ 呼之欲出，维护前缀和 $q[i]$ 表示前i位的calc值，那么 $calc(j+1,i-1)=q[i-1]-q[j+1+1-1]=q[i-1]-q[j+1]$

$q[i]=a[i]*(a[i]==a[i-1])$

$q[i]+=q[i-1]$

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int f[N],n,a[N],ans;

int calc(int st,int ed){
	int ans=f[st];
	if(st>ed&&st-1>=1)  return f[st-1];
	if(st==ed)  return f[st];
	for(int i=st+1;i<=ed;i++)  ans+=(a[i]==a[i-1])*a[i]; 
	return ans;
}
void solve(){
	memset(f,0,sizeof f);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)  cin>>a[i];
	for(int i=2;i<=n;i++){
		f[i]=f[i-1];int sum=0;
		for(int j=i-1;j>=1;j--){
			//if(a[i]!=a[j])  continue;
			int st=j+1,ed=i-1;
			//st+1 - ed
			
			if(st>ed&&st-1>=1)  f[i]=max(f[i],(a[i]==a[j])*a[i]+f[st-1]);
			else if(st==ed)  f[i]=max(f[i],(a[i]==a[j])*a[i]+f[st]);
			else if(st<ed){
				sum+=(a[j+2]==a[j+1])*a[j+1];f[i]=max(f[i],(a[i]==a[j])*a[i]+sum+f[st]);
				
			} 
			//f[i]=max(f[i],(a[i]==a[j])*a[i]+calc(j+1,i-1));
			
		}
	}
	cout<<f[n]<<endl;
}
int main(){
	int T;cin>>T;
	while(T--)  solve();
	return 0;
}

考虑优化：很明显只有相等的值才能造成贡献

策略1.两位相邻， $f[i]=max(f[i],(a[i]==a[i-1])*a[i]+f[i-1]);$

策略2.两位之间差一位， $f[i]=max(f[i],(a[i]==a[i-2])*a[i]+f[i-1]);$

策略3.两位之间的格子超过两位， $f[i]=max(f[i],a[i]+q[i-1]-q[t+1]+f[t+1]);$

其中t表示其中与其相同值的格子的位置。

直接分类是接近 $O(n^2)$ ，考虑 $-q[t+1]+f[t+1]$ 的单调性，可以知道这是单调递增的，每次以上次最后点为起点， $t>i-3$ 是为下一个点的起点和这个点的终点即可。

复杂度 $O(n)$ ，当然没看出单调性也可以套个线段树维护后面那个东西，本题不卡常。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int f[N],n,a[N],ans,q[N],mx,g[N],maxn,lst[N];
vector<int> v[N];
void solve(){
	memset(f,0,sizeof f);memset(q,0,sizeof q);maxn=0;memset(g,0,sizeof g);memset(lst,0,sizeof lst); 
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];maxn=max(maxn,a[i]);
		if(a[i]==a[i-1])  q[i]=a[i];
		q[i]+=q[i-1];
		v[a[i]].push_back(i);
	}  
	for(int i=2;i<=n;i++){
		f[i]=f[i-1];int sum=0;f[i]=max(f[i],(a[i]==a[i-1])*a[i]+f[i-1]);
		if(i>2)  f[i]=max(f[i],(a[i]==a[i-2])*a[i]+f[i-1]);
		for(int j=lst[a[i]];j<v[a[i]].size();j++){
			int t=v[a[i]][j];
			if(t>i-3){
				lst[a[i]]=j;
				break;
			}  
			f[i]=max(f[i],a[i]+q[i-1]-q[t+1]+f[t+1]);
		}
	}
	cout<<f[n]<<endl;
	for(int i=1;i<=maxn;i++)  v[i].clear();
}
signed main(){
	int T;cin>>T;
	while(T--)  solve();
	return 0;
}

summary：自己的t2很蒙，搞到t3只有1个小时多一点，实际想这一题只有30-40分钟，没有自己仔细调一调，导致暴力dp都没有写出来。希望noip能自己写出一个正解dp出来