【Comet OJ - Contest #8】C - 符文能量【dp】

题目大意：

题目链接：https://www.cometoj.com/contest/58/problem/C?problem_id=2760
有$n$个物品，每个物品有$a,b$两个属性，每次合并两个相邻的物品$i,i+1$会合并成一个$(a_i,b_{i+1})$物品，但需花费代价$a_{i+1}\times b_i$。在开始前可以选择一段区间里的物品，然他们的两个属性全部乘$k$。求合并后代价的最小值。

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思路：

先考虑没有乘$k$的操作，那么显然无论合并的顺序是怎样的，最终结果都相同。因为任意一次合并都没有拆散其它相邻的物品。
所以只需考虑乘$k$的操作使得答案更小。那么设$f[i][0/1/2]$表示全部不使用乘$k$的代价、第$i$个物品一定使用乘$k$的最小代价、前$i-1$个物品使用了乘$k$，第$i$个物品不使用乘$k$的最小代价。
设$c[i]$为本次代价，那么转移方程显然
$$f[i][0]=f[i-1][0]+c[i]$$
$$f[i][1]=min(f[i-1][0]+c[i]\times k,f[i-1][1]+c[i]\times k\times k)$$
$$f[i][2]=min(f[i-1][2]+c[i],f[i-1][1]+c[i]\times k)$$

最后取个$min$即可。

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代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=100010;
int n;
ll f[N][3],a[N],b[N],c[N],k;

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	scanf("%lld",&k);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);
		if (i>=2) c[i-1]=a[i]*b[i-1];
	}
	memset(f,0x3f3f3f3f,sizeof(f));
	f[0][0]=f[0][1]=f[0][2]=0;
	for (int i=1;i<n;i++)
	{
		f[i][0]=f[i-1][0]+c[i];
		f[i][1]=min(f[i-1][0]+c[i]*k,f[i-1][1]+c[i]*k*k);
		f[i][2]=min(f[i-1][2]+c[i],f[i-1][1]+c[i]*k);
	}
	printf("%lld\n",min(f[n-1][0],min(f[n-1][1],f[n-1][2])));
	return 0;
}