Comet OJ - Contest #8 神奇函数-优快云博客

本文深入探讨了质因数分解在数学算法中的应用，通过观察与分析提出了一个优化算法，该算法利用欧拉函数计算特定范围内所有整数的质因数分解，以提高整体效率。文章提供了两种不同的实现方式，并详细解释了每一步的原理与优化过程。

题意：

思路：

　　首先我们打表观察得到，f（x）为 x分解质因数之后 ∏pi^(ti/2)

　　　再分析可得，∑f（i）=n/(1*1)*1*只为1的个数+n/(2*2)*2*只为2的个数+...

　　但是结果超时。

在进行分析可得，只为x的个数就是phi（x）。

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=b;i>=a;i--)
using namespace std;
#define ll long long
const int N=3e5+5;
ll rd()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int T;
ll n;
ll f[10000010],ans,sum;
int main()
{
    T=rd();
    while(T--)
    {
        ans=0;sum=0;
        n=rd();
        int p=sqrt(n);
        dep(i,2,p)
        {
            int x=i+i;
            f[i]=n/(1ll*i*i);
            while(x<=p)
            {    
                f[i]-=f[x];
                x+=i;
            }
            ans=ans+1ll*f[i]*i;
            sum+=f[i];
        }
        printf("%lld\n",ans+n-sum); 
    }
}

View Code

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=b;i>=a;i--)
using namespace std;
#define ll long long
const int N=1e7+5;
ll rd()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int prime[N+10],phi[N+10],num[N+10],flag[N+10],l=0;
void isprime()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!flag[i]) 
        {
            prime[++l]=i;
            phi[i]=i-1; 
        }
        for(int j=1;j<=l;j++)
        {
            if(1ll*prime[j]*i>N) break;
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(i%prime[j]?prime[j]-1:prime[j]);
            flag[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
int T;
ll n;
ll f[10000010],ans,sum;
int main()
{
    isprime();
    T=rd();
    while(T--)
    {
        ans=0;sum=0;
        n=rd();
        int p=sqrt(n);
        dep(i,1,p)
        {
            int x=i+i;
            f[i]=n/(1ll*i*i);
            ans=ans+1ll*f[i]*phi[i];
        }
        printf("%lld\n",ans); 
    }
}