「Comet OJ Contest #8 E」神奇函数【积性函数】

最新推荐文章于 2020-02-20 17:49:29 发布

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本文深入探讨了一种神奇函数的数学特性，将其转化为易于理解的形式，并利用欧拉函数的性质进行进一步分析。通过数学推导，得出了计算该函数的有效方法，并提供了使用C++实现的代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

神奇函数

在这里插入图片描述

题意

就是求上面那个式子 $233$

题解

第一次写这种看上去像积性函数的题目，简单记录一下
首先考虑把那个递推的式子转化成容易理解的式子，从 $x$ 往前每次除以一个最小的质因子的平方或者这个最小质因子，很容易发现这样一个规律，如果将 $x$ 表示为
$x=p_1^{t_1}\times p_2^{t_2} \times p_3^{t_3}\times ...\times p_n^{t_n}$
那么
$f(x)=p_1^{\frac{t_1}{2}}\times p_2^{\frac{t_2}{2}} \times p_3^{\frac{t_3}{2}}\times ...\times p_n^{\frac{t_n}{2}}$
然后有欧拉函数的性质可知
$n=\sum_{d|n}phi(d)$
$n$ 换成 $f (x)$
$f(x)=\sum_{d|f(x)}{phi(d)}$
右边有个 $f (x)$ 考虑换成 $n$
$f(x)=\sum_{d^2|n}{phi(d)}$
所以题目需要求的

$\sum_{i=1}^{n}{f[i]}=\sum_{i=1}^{n}{\sum_{d^2|i}^{}{phi[d]}} =\sum_{d=1}^{d^2\leq n}{\sum_{i=1}^{\frac{n}{d^2}}{phi[d]}}= \sum_{d=1}^{d^2\leq n}{\frac{n}{d^2}phi[d]}$
线筛欧拉函数然后 $O(\sqrt{n})$ 统计答案即可

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn=5e6;

long long n;  
int phi[maxn+10],prime[maxn+10],tot,ans;    
bool mark[maxn+10];  

void getphi()    
{    
   phi[1]=1;    
   for(int i=2;i<=maxn;i++)
   {    
       if(!mark[i]) {    
            prime[++tot]=i;
            phi[i]=i-1;
       }    
       for(int j=1;j<=tot;j++){    
          if(i*prime[j]>maxn)  break;    
          mark[i*prime[j]]=1;
          if(i%prime[j]==0){
             phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;    
          }    
          else  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
       }    
   }    
}

int main()
{
    getphi();
    int t;scanf("%d",&t);
    while(t--) {
        scanf("%lld",&n);long long ans=0;
        for(long long i=1;i*i<=n;i++) ans+=(n/(i*i))*phi[i];
        printf("%lld\n",ans);
    }
}