Comet OJ - Contest #8 E神奇函数（莫比乌斯函数容斥）

最新推荐文章于 2019-08-20 15:34:11 发布

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本文解析了一道涉及神奇函数f(x)的数学竞赛题，该函数值与x的最大平方因子有关。通过容斥原理和莫比乌斯函数的应用，详细推导了求解f函数前缀和的算法，最终简化为欧拉函数的计算。

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Comet OJ - Contest #8 E神奇函数（莫比乌斯函数容斥）

题目大意

定义 $d (x)$ 的值为x的最小素因子，定义
$\begin{cases} 1&x=1\\ d(x)f(\frac{x}{d^2(x)}) &x>1,d^2(x)|x\\ d(x)f(\frac{x}{d(x)})&other \end{cases}$
求f函数前缀和

https://cometoj.com/contest/58/problem/E?problem_id=2759

解题思路

f函数的值实际上就是x的最大平方因子开根号为此我们枚举原式
$\sum_{i=1}^{\sqrt{n}}i\cdot g(\left\lfloor\frac{n}{i^2}\right\rfloor)$
其中 $g (x)$ 的定义是小于等于x的，无完全平方因子的数的数量。这就是一个非常经典的容斥原理的题目了。即枚举无素数平方因子，至少有一个素数平方因子，至少有两个素数平方因子,…对此进行容斥，发现容斥的系数恰好枚举的数的莫比乌斯函数的值，则有
$g(x)=\sum_{i=1}^{\sqrt x}\mu(i)\cdot\left\lfloor\frac{n}{i^2}\right\rfloor$
故原式等于
$\sum_{i=1}^{\sqrt n}i\cdot\sum_{j=1}^{\sqrt{\left\lfloor\frac{n}{i^2}\right\rfloor}}\mu(j)\left\lfloor\frac{n}{i^2j^2}\right\rfloor$
设 $k=i\cdot j$ ,将原式改变为枚举k，则有
$\sum_{k=1}^{\sqrt n}\left\lfloor\frac{n}{k^2}\right\rfloor\sum_{i|k}i\cdot\mu(\frac{k}{i})$
可以发现后面那个式子就是单位函数卷积莫比乌斯函数，根据公式已知其值为欧拉函数，故原式可以写作
$\sum_{k=1}^{\sqrt n}\left\lfloor\frac{n}{k^2}\right\rfloor\varphi(k)$

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long 
typedef long long LL;
LL n;
const int size=1e7+5;
bool prime[size];int p[size];
int phi[size];
int tot=0;
void init()
{
	phi[1]=1;
	for(int i=1;i<size;i++) prime[i]=true;
	for(int i=2;i<size;i++)
	{
		if(prime[i])
		{
		 	p[++tot]=i;
		 	phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=tot&&p[j]*i<size;j++)
		{
			prime[i*p[j]]=false;
			if(i%p[j]==0)
			{
				phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
				break;
			}
			else phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
		}
	}
}	 
int32_t main()
{
	int t;
	//freopen("a.in","r",stdin);
	init();
	scanf("%lld",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%lld",&n);
		int s=sqrt(n);
		LL ans=0;
		for(int i=1;i<=s;i++)
		{
			ans+=n/(i*i)*phi[i];
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
}