【洛谷P3216】【BZOJ2326】数学作业【矩阵乘法】

最新推荐文章于 2021-05-24 14:02:39 发布

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本文介绍了一种解决大数取模问题的有效算法——矩阵快速幂。通过将问题转化为矩阵运算，利用快速幂的思想，可以高效求解123...n % m的问题，适用于n ≤ 10^18的数据范围。文章详细解析了算法思路，包括如何计算不同位数的数值，以及在长整型乘法中避免溢出的方法。

题目大意：

题目链接：
洛谷：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3216
Bzoj：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2326
求 $\overline{123...n}\ \%\ m$

思路：

这种矩阵乘法的题目一看 $n\leq 10^{18}$ 的数据范围就明显地提示了算法。。。
思路还是很简单的。对于任意的 $f [i]$ 表示 $\overline{123...i}\ \%\ m$ ， $f [i + 1]$ 显然等于
$(f[i]\times cnt+i+1)\ \%\ m$
其中 $c n t$ 表示 $i + 1$ 的位数。
显然，对于任意不同位数的 $i$ ，需要分开来矩乘。
在这里插入图片描述

注意 $long\ long\times long\ long$ 可能会爆炸。
时间复杂度 $O(log\ n)$

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll n,k,MOD,f[4],a[4][4];

void mul(ll f[4],ll a[4][4])
{
	ll c[4]={0,0,0,0};
	for (int i=1;i<=3;i++)
		for (int j=1;j<=3;j++)
			c[i]=(c[i]+f[j]*a[i][j])%MOD;
	memcpy(f,c,sizeof(c)); 
}

void mulself(ll a[4][4])
{
	ll c[4][4];
	memset(c,0,sizeof(c));
	for (int i=1;i<=3;i++)
		for (int j=1;j<=3;j++)
			for (int k=1;k<=3;k++)
				c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*a[k][j])%MOD;
	memcpy(a,c,sizeof(c)); 
}

int  main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&MOD);
	f[1]=0,f[2]=0,f[3]=1;
	for (ll m=1;m<=n;m*=10)
	{
		if (m>n/10) k=n-m+1;  //这个位数要矩乘的次数
			else k=m*9;
		a[1][1]=1; a[1][2]=0; a[1][3]=1;
		a[2][1]=1; a[2][2]=m*10%MOD; a[2][3]=1;
		a[3][1]=0; a[3][2]=0; a[3][3]=1;  //重置a数组
		while (k)
		{
			if (k&1) mul(f,a);
			mulself(a);
			k>>=1;
		}	
	}
	printf("%lld",f[2]);
	return 0;
}