【洛谷P1387】最大正方形【dp】

本文介绍了一种使用动态规划解决寻找最大全为1的正方形子矩阵问题的方法。通过构建DP状态转移方程,实现O(nm)的时间复杂度,高效找到最大正方形子矩阵的面积。

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题目大意:

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P1387

给一个 N × M N\times M N×M的01矩阵, 求一个面积最大的全为1的正方形子矩阵. 输出它的面积。


思路:

很显然是用 d p dp dp啊。

对于点 ( i , j ) (i,j) (i,j),显然以它为左下角的最大正方形只能是它往左上扩张、往左边扩张、往右边扩张的最大正方形边长加1。

f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]表示以点 ( i , j ) (i,j) (i,j)为左下角的最大正方形,那么就有

f [ i ] [ j ] = m i n ( f [ i − 1 ] [ j − 1 ] , f [ i − 1 ] [ j ] , f [ i ] [ j − 1 ] ) + 1 ( a [ i ] [ j ] = 1 ) f[i][j]=min(f[i-1][j-1],f[i-1][j],f[i][j-1])+1(a[i][j]=1) f[i][j]=min(f[i1][j1],f[i1][j],f[i][j1])+1(a[i][j]=1)

复杂度显然 O ( n m ) O(nm) O(nm)


代码:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

int n,m,maxn,f[101][101],a[101][101];

int minn(int x,int y,int z)
{
    return min(x,min(y,z));
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
     for (int j=1;j<=m;j++)
      scanf("%d",&a[i][j]);
    for (int i=1;i<=n;i++)
     for (int j=1;j<=m;j++)
      if (a[i][j])
      {
      	 f[i][j]=minn(f[i-1][j-1],f[i-1][j],f[i][j-1])+1;
      	 maxn=max(maxn,f[i][j]);
      }
    printf("%d\n",maxn);
    return 0;
}
洛谷 P1681 最大正方形II 是一个动态规划问题,要求给定一个由 '0' 和 '1' 组成的矩阵,找出其中最大正方形,并输出其边长。 以下是一个 C++ 编写的解答示例: ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) { int rows = matrix.size(); if (rows == 0) return 0; int cols = matrix[0].size(); vector<vector<int>> dp(rows + 1, vector<int>(cols + 1, 0)); int maxSide = 0; for (int i = 1; i <= rows; i++) { for (int j = 1; j <= cols; j++) { if (matrix[i-1][j-1] == '1') { dp[i][j] = min(min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]), dp[i-1][j-1]) + 1; maxSide = max(maxSide, dp[i][j]); } } } return maxSide * maxSide; } int main() { int n, m; cin >> n >> m; vector<vector<char>> matrix(n, vector<char>(m)); for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < m; j++) { cin >> matrix[i][j]; } } cout << maximalSquare(matrix) << endl; return 0; } ``` 在上述代码中,我们首先定义了一个名为 `maximalSquare` 的函数,该函数接受一个二维字符矩阵 `matrix` 作为参数,返回最大正方形的边长。 在 `main` 函数中,我们首先从标准输入读取矩阵的行数和列数,并创建一个大小为 `n x m` 的二维字符矩阵。然后,我们按行读取矩阵的数据,并调用 `maximalSquare` 函数进行求解。最后,输出最大正方形的边长。 在动态规划的解法中,我们使用一个二维数组 `dp` 来记录以当前位置为右下角的最大正方形的边长。遍历矩阵中的每个元素,如果当前元素为 '1',则根据其左方、上方和左上方的最大正方形边长计算出当前位置的最大正方形边长,并更新 `dp` 数组和最大边长变量。 请注意,以上代码仅为示例,可能需要根据具体题目要求进行适当修改。同时,为了简化示例,未进行输入验证,请确保输入的矩阵符合题目要求。
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