Luogu P3216 [HNOI2011]数学作业【矩阵快速幂】

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本文介绍了一个复杂的数学问题求解过程，通过构建特定的矩阵运算来高效计算由所有正整数顺序连接而成的数的第N位。利用矩阵乘方加速计算，并通过递推式简化问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

小 C 数学成绩优异，于是老师给小 C 留了一道非常难的数学作业题：

给定正整数 $N$ 和 $M$ ，要求计算 $Concatenate (1 .. N) Mod M$ 的值，其中 $Concatenate (1 .. N)$ 是将所有正整数 $1, 2,...., N$ 顺序连接起来得到的数。例如， $N=13$ , $Concatenate (1 .. N)=12345678910111213$ .小C 想了大半天终于意识到这是一道不可能手算出来的题目，于是他只好向你求助，希望你能编写一个程序帮他解决这个问题。

输入输出格式

输入格式：

从文件input.txt中读入数据，输入文件只有一行且为用空格隔开的两个正整数N和M，其中30%的数据满足 $1\leq N\leq1000000$ ；100%的数据满足 $1 \leq N \leq10^{18}$ 且 $1 \leq M \leq10^{9}$ .

输出格式：

输出文件 output.txt 仅包含一个非负整数，表示 $Concatenate (1 .. N)$ 的值。

输入输出样例

输入样例#1：

13 13

输出样例#1：

思路：根据题意易得递推式为 $F\left ( n \right )=F\left ( n-1 \right )*10^k+n \left$ （k为n的位数）,直接构造矩阵是不可行的，因为矩阵中不存在 $10^k$ 这种变量。考虑按位数构造矩阵，那这时候 $10^k$ 就可以看作一个常数，注意不同位数的矩阵之间的衔接就没问题了。

$\begin{pmatrix} 10^k & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} *$ $\begin{pmatrix} F\left ( n-1 \right ) \\ n \\ 1 \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} F\left ( n \right ) \\ n+1 \\ 1 \end{pmatrix}$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<map>
#include<climits>
using namespace std;
#define M(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define pb push_back
typedef long long LL;
const int maxn = 100000+5;
struct Matrix {
    LL mat[3][3];
};
LL n,mod;
Matrix operator * (Matrix a,Matrix b) {
    Matrix res;
    for (int i=0;i<3;++i) {
        for (int j=0;j<3;++j) {
            res.mat[i][j]=0;
            for (int k=0;k<3;++k) {
                res.mat[i][j]=res.mat[i][j]+a.mat[i][k]*b.mat[k][j];
                res.mat[i][j]%=mod;
            }
        }
    }
    return res;
}
Matrix operator ^ (Matrix a,LL p) {
    Matrix res;
    M(res.mat,0);
    for (int i=0;i<3;++i) {
        res.mat[i][i]=1;
    }
    while(p) {
        if (p&1) {
            res=res*a;
        }
        a=a*a;
        p>>=1;
    }
    return res;
}
LL f[20];
int main() {


    scanf("%lld%lld",&n,&mod);
    Matrix A,ans;
    ans.mat[0][0]=0; ans.mat[0][1]=0;ans.mat[0][2]=0;
    ans.mat[1][0]=1;ans.mat[1][1]=0;ans.mat[1][2]=0;
    ans.mat[2][0]=1; ans.mat[2][1]=0;ans.mat[2][2]=0;
    A.mat[0][0]=10; A.mat[0][1]=1;A.mat[0][2]=0;
    A.mat[1][0]=0;  A.mat[1][1]=1;A.mat[1][2]=1;
    A.mat[2][0]=0;  A.mat[2][1]=0;A.mat[2][2]=1;

    int k = 0;
    LL tp=n;
    while(tp) {
        tp/=10;
        ++k;
    }
    f[0]=1;
    for (int i=1;i<=k;++i) {
        f[i]=(f[i-1]<<3)+(f[i-1]<<1);
    }
    for (int i=1;i<=k;++i) {
        A.mat[0][0]=f[i]%mod;
        LL cnt;
        if (i==k) {
            cnt = n - f[i-1] + 1;
        }
        else {
            cnt = f[i] - f[i-1];
        }
        ans=(A^cnt)*ans;
    }
    printf("%lld\n",ans.mat[0][0]);
    return 0;
}